Integrali curvilinei
Ciao, devo capire come risolvere gli integrali curvilinei, conosco solo gli integrali "normali" al massimo con due variabili, potete farmi un esempio di un integrale curvilineo semplice per capire procedere per risolverli?
Risposte
Calcolare integrali curvilinei non è molto diverso da integrali in una variabile. Ma hai studiato la teoria?
so che sono integrali su funzioni vettoriali, $r:I sube RR -> RR^m$ ad esempio per il movimento in $RR^3$ di una particella, dato l'intervallo di tempo $[t_1,t_2]$, $r:[t_1,t_2]->R^3$ che definisce una curva nello spazio.
Puoi trasformarli in integrali nella sola variabile $t$. http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_linea
Dopo di che sono semplicemente degli integrali in una sola dimensioni.
Dopo di che sono semplicemente degli integrali in una sola dimensioni.
Puoi farmi un esempio (anche semplice) perché non riesco a capire in che modo si presenta la funzione da integrare.
se [tex]f(x): R^n \to R^m[/tex] e [tex]\gamma(t): [a,b] \subset R \to R^n[/tex] (se non erro poi [tex]\gamma[/tex] dovrebbe essere ALMENO regolare a tratti... ma non ne sono sicuro 
):
[tex]\int_\gamma f(x)dx = \int_a^b f(\gamma(t)) |\gamma'(t)| dt[/tex]
o.O
tutto qua... o.O
certo se l'equazione della curva è data in cartesiani... devi fare mezzo passaggio in più ma a monte di questo... però... quello è o.o
e per quanto riguarda l'esempio: ma non ne hai manco uno sul libro?!
edit:
avevo dimenticato il modulo su [tex]\gamma'(t)[/tex] :\
):[tex]\int_\gamma f(x)dx = \int_a^b f(\gamma(t)) |\gamma'(t)| dt[/tex]
o.O
tutto qua... o.O
certo se l'equazione della curva è data in cartesiani... devi fare mezzo passaggio in più ma a monte di questo... però... quello è o.o
e per quanto riguarda l'esempio: ma non ne hai manco uno sul libro?!
edit:
avevo dimenticato il modulo su [tex]\gamma'(t)[/tex] :\
sto parlando di un esempio reale, un esercizio ad esempio
eh appunto...
io sul mio libro ne ho qualcuno...
[tex]\int_{circonferenza-unitaria} (yx) dx dy[/tex]
la curva è una circonferenza, che in forma parametrica è:
[tex]x(t) = cos t[/tex]
[tex]y(t) = sin t[/tex]
quindi ho appena scritto esplicitamente [tex]\gamma(t)[/tex] come una [tex]\gamma(t) = (x(t), y(t))[/tex].
ho che [tex]\gamma'(t) = (x'(t), y'(t))[/tex]:
[tex]x'(t) = -sin t[/tex]
[tex]y'(t) = cos t[/tex]
quindi trovo che in questo caso, [tex]|\gamma'(t)| = |x'(t), y'(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} = 1[/tex].
infilo tutto dentro l'integrale:
[tex]\int_{circonferenza-unitaria} yx dx dy = \int_0^{2\pi} costsint 1 dt[/tex]
lascio a te la risoluzione.
piccola nota: t varia a da 0 a 2pi perchè la curva di integrazione è TUTTA la circonferenza. se ti fosse chiesto di integrare lungo il primo quarto di circonferenza, t andrebbe da 0 a pi/2.
io sul mio libro ne ho qualcuno...
[tex]\int_{circonferenza-unitaria} (yx) dx dy[/tex]
la curva è una circonferenza, che in forma parametrica è:
[tex]x(t) = cos t[/tex]
[tex]y(t) = sin t[/tex]
quindi ho appena scritto esplicitamente [tex]\gamma(t)[/tex] come una [tex]\gamma(t) = (x(t), y(t))[/tex].
ho che [tex]\gamma'(t) = (x'(t), y'(t))[/tex]:
[tex]x'(t) = -sin t[/tex]
[tex]y'(t) = cos t[/tex]
quindi trovo che in questo caso, [tex]|\gamma'(t)| = |x'(t), y'(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} = 1[/tex].
infilo tutto dentro l'integrale:
[tex]\int_{circonferenza-unitaria} yx dx dy = \int_0^{2\pi} costsint 1 dt[/tex]
lascio a te la risoluzione.
piccola nota: t varia a da 0 a 2pi perchè la curva di integrazione è TUTTA la circonferenza. se ti fosse chiesto di integrare lungo il primo quarto di circonferenza, t andrebbe da 0 a pi/2.
"Ziel van brand":
(se non erro poi [tex]\gamma[/tex] dovrebbe essere ALMENO regolare a tratti... ma non ne sono sicuro
E' senza dubbio necessario che sia regolare a tratti affinché quella formula valga. E' possibile che esiste una teoria per casi più generali ma non la conosco.
mah, non saprei...
il mio libro introduce l'integrale di linea in modo discorsivo, senza puntualizzarne troppo la definzione. manco wikipedia aiuta.
a occhio a me pare sufficiente che la curva ammetta derivata, non è necessario poi che tale derivata sia sempre nonnulla (almeno per punti del dominio [a,b] in cui si integra), che è invece la richiesta a cui devono soddisfare le curve regolari.
a parole:
curva regolare: curva di classe C^1 con derivata a valori sempre diversi da zero nei punti del dominio.
nell'integrale di linea, che cambia se c'è un punto in la derivata della curva si annulla? :\
il mio libro introduce l'integrale di linea in modo discorsivo, senza puntualizzarne troppo la definzione. manco wikipedia aiuta.
a occhio a me pare sufficiente che la curva ammetta derivata, non è necessario poi che tale derivata sia sempre nonnulla (almeno per punti del dominio [a,b] in cui si integra), che è invece la richiesta a cui devono soddisfare le curve regolari.
a parole:
curva regolare: curva di classe C^1 con derivata a valori sempre diversi da zero nei punti del dominio.
nell'integrale di linea, che cambia se c'è un punto in la derivata della curva si annulla? :\
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