Integrali curvilinei 2specie, forme differenziali
Ciao, sto incontrando parecchie difficoltà nella risoluzione di questo esercizio:
$int_(gamma) omega$ con $omega = (L/(1+9x^2)) * cos(3y) dx + arctan(3x) * sin(3y) dy$ con L parametro reale.
L'esercizio chiede:
- Trovare tutte le L tali che ω sia esatta in $I^2 $
- Trovare una funzione potenziale U(x,y) per tale(i) L
- Calcolare per tale(i) $phi int_(gamma) ω$, essendo γ una curva regolare qualsiasi che congiunge i punti ($3^(-1/2)$ , $pi/3$) e (2011, $pi/2$)
Per quanto riguarda il primo punto considero $P(x,y)dx = (L/(1+9x^2)) * cos(3y) dx$ e $ Q(x,y)dy = arctan(3x) * sin(3y) dy$
Affinchè la forma sia esatta è necessario che sia verificata la condizione $P_y = Q_x$ (1)
Quindi calcolo derivate parziali di p rispetto a y e di q rispetto a x e ottengo:
$(delP)/(dely) (x,y) = (L/(1+9x^2)) *3sin(3y)$
$(delQ)/(delx) (x,y) = (3/(1+9x^2)) *sin(3y)$
Quindi Per la (1) è necessario che tutte le L siano tali che $(L/(1+9x^2)) *3sin(3y) = (3/(1+9x^2)) *3sin(3y)$ ossia $L = 1$
Sempre che non abbia sbagliato fin qua, non riesco a procedere oltre.
$int_(gamma) omega$ con $omega = (L/(1+9x^2)) * cos(3y) dx + arctan(3x) * sin(3y) dy$ con L parametro reale.
L'esercizio chiede:
- Trovare tutte le L tali che ω sia esatta in $I^2 $
- Trovare una funzione potenziale U(x,y) per tale(i) L
- Calcolare per tale(i) $phi int_(gamma) ω$, essendo γ una curva regolare qualsiasi che congiunge i punti ($3^(-1/2)$ , $pi/3$) e (2011, $pi/2$)
Per quanto riguarda il primo punto considero $P(x,y)dx = (L/(1+9x^2)) * cos(3y) dx$ e $ Q(x,y)dy = arctan(3x) * sin(3y) dy$
Affinchè la forma sia esatta è necessario che sia verificata la condizione $P_y = Q_x$ (1)
Quindi calcolo derivate parziali di p rispetto a y e di q rispetto a x e ottengo:
$(delP)/(dely) (x,y) = (L/(1+9x^2)) *3sin(3y)$
$(delQ)/(delx) (x,y) = (3/(1+9x^2)) *sin(3y)$
Quindi Per la (1) è necessario che tutte le L siano tali che $(L/(1+9x^2)) *3sin(3y) = (3/(1+9x^2)) *3sin(3y)$ ossia $L = 1$
Sempre che non abbia sbagliato fin qua, non riesco a procedere oltre.
Risposte
La condizione sulle derivate è
[tex]$-\frac{L}{1+9x^2}\cdot 3\sin(3y)=\frac{3}{1+9x^2}\cdot \sin(3y)\ \Rightarrow\ L=-1$[/tex]
Una volta determinata tale $L$ devi trovare una funzione $V(x.y)$ tale che [tex]$V_x=P,\ V_y=Q$[/tex]: per farlo, basta integrare uno dei due coefficienti della forma rispetto alla loro variabile di dipendenza, ad esempio [tex]$V(x,y)=\int P(x,y)\ dx+f(y)$[/tex] (l'integrazione va fatta solo rispetto ad $x$ considerando $y$ come un parametro) e a questo punto derivando si ottiene [tex]$Q(x,y)=\int P_y(x,y)\ dy+f'(y)$[/tex] che permette di determinare la forma della funzione arbitraria [tex]$f(y)$[/tex]. Una volta fatto questo risulta semplice calcolare quell'integrale, dal momento che basterà sostituire solo i valori dei punti estremi della curva.
[tex]$-\frac{L}{1+9x^2}\cdot 3\sin(3y)=\frac{3}{1+9x^2}\cdot \sin(3y)\ \Rightarrow\ L=-1$[/tex]
Una volta determinata tale $L$ devi trovare una funzione $V(x.y)$ tale che [tex]$V_x=P,\ V_y=Q$[/tex]: per farlo, basta integrare uno dei due coefficienti della forma rispetto alla loro variabile di dipendenza, ad esempio [tex]$V(x,y)=\int P(x,y)\ dx+f(y)$[/tex] (l'integrazione va fatta solo rispetto ad $x$ considerando $y$ come un parametro) e a questo punto derivando si ottiene [tex]$Q(x,y)=\int P_y(x,y)\ dy+f'(y)$[/tex] che permette di determinare la forma della funzione arbitraria [tex]$f(y)$[/tex]. Una volta fatto questo risulta semplice calcolare quell'integrale, dal momento che basterà sostituire solo i valori dei punti estremi della curva.
fin qui sembra giusto
ora hai una forma esatta definita in tutto $RR^2$ quindi puoi scegliere un qualunque percorso per determinare il potenziale, poi per l'ultimo punto ti conviene sfruttare la funzione potenziale
ora hai una forma esatta definita in tutto $RR^2$ quindi puoi scegliere un qualunque percorso per determinare il potenziale, poi per l'ultimo punto ti conviene sfruttare la funzione potenziale
"ciampax":
La condizione sulle derivate è
[tex]$-\frac{L}{1+9x^2}\cdot 3\sin(3y)=\frac{3}{1+9x^2}\cdot \sin(3y)\ \Rightarrow\ L=-1$[/tex]
si, grazie per la precisazione la condizione che stavo sfruttando era $P_x + Q_x = 0$ e ho fatto un erroraccio passando il termine al secondo membro
"ciampax":
Una volta determinata tale $L$ devi trovare una funzione $V(x.y)$ tale che [tex]$V_x=P,\ V_y=Q$[/tex]: per farlo, basta integrare uno dei due coefficienti della forma rispetto alla loro variabile di dipendenza, ad esempio [tex]$V(x,y)=\int P(x,y)\ dx+f(y)$[/tex] (l'integrazione va fatta solo rispetto ad $x$ considerando $y$ come un parametro) e a questo punto derivando si ottiene [tex]$Q(x,y)=\int P_y(x,y)\ dy+f'(y)$[/tex] che permette di determinare la forma della funzione arbitraria [tex]$f(y)$[/tex]. Una volta fatto questo risulta semplice calcolare quell'integrale, dal momento che basterà sostituire solo i valori dei punti estremi della curva.
Non mi ci ritrovo granchè, nel senso che non son sicuro di aver capito. Se come suggerisci cerco una [tex]$V(x,y)=\int P(x,y)\ dx+f(y)$[/tex], ottengo, facendo il calcolo, $V(x,y) = Lcos(3y)arctg(3x) + f(y)$, fatto questo non capisco bene cosa derivare, per determinare $f(y)$
Una volta trovato [tex]$L=-1$[/tex] dalla condizione [tex]$P_y=Q_x$[/tex] (non capisco cosa sia la condizione che scrivi [tex]$P_y+Q_x=0$[/tex]: il problema in quello che avevi scritto è che la derivata del coseno è "meno" seno) trovi
[tex]$V(x,y)=\int-\frac{1}{1+9x^2}\ \cos(3y)\ dx+f(y)=-\frac{1}{3}\arctan(3x)\cos(3y)+f(y)$[/tex]
e pertanto
[tex]$Q=V_y=\arctan(3x)\sin(3y)+f'(y)\ \Rightarrow\ f'(y)=0\ \Rightarrow\ f(y)=c\in\mathbb{R}$[/tex]
Per cui il potenziale è
[tex]$V(x,y)=\arctan(3x)\cdot\cos(3y)+c$[/tex]
[tex]$V(x,y)=\int-\frac{1}{1+9x^2}\ \cos(3y)\ dx+f(y)=-\frac{1}{3}\arctan(3x)\cos(3y)+f(y)$[/tex]
e pertanto
[tex]$Q=V_y=\arctan(3x)\sin(3y)+f'(y)\ \Rightarrow\ f'(y)=0\ \Rightarrow\ f(y)=c\in\mathbb{R}$[/tex]
Per cui il potenziale è
[tex]$V(x,y)=\arctan(3x)\cdot\cos(3y)+c$[/tex]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo