Integrali curvilinei

[marco.ve1]

Nel mio libro di testo si definisce l'integrale curvilineo (di 2° specie) di una $F: E\subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ in $C^1$ lungo una curva regolare $r: [a,b] \to \mathbb{R}^3$ con sostegno $\gamma$ contenuto in E come $\int_{\gamma}F\cdot dr = \int_{a}^{b}F(r(t))\cdot r'(t)dt$ e poi si dice che questo si può ricondurre a un'integrale di linea lungo $\gamma$ avendosi $\int_{a}^{b}F(r(t))\cdot r'(t)dt = \int_{a}^{b}(F(r(t))\cdot T(t))|r'(t)|dt = \int_{\gamma}(F\cdot T)ds$ ove T è il versore tangente di r.
Io ho qualche problema a capire l'ultima notazione, infatti essendo (suppongo $G: E \to \mathbb{R}^3$) $\int_{\gamma}Gds = \int_{a}^{b}G(r(t))|r'(t)|dt$ dovrei avere $F(r(t))\cdot T(t) = G(r(t))$ per una G opportuna, ma se r non è iniettiva non è detto che esista una tale G.
Al massimo se $\gamma$ si può dividere in una unione finita di tratti semplici si può definire G per casi.
Bisogna quindi limitarsi a curve iniettive, o c'è qualcosa che mi sfugge?

[dissonance]

Noo, non è quello il punto, stai interpretando male. Il testo sta semplicemente dicendoti che
\[\tag{1}
\int_\gamma (F\cdot T)\, ds = \int_a^b F(r(t))\cdot r'(t)\, dt,\]
ovvero, come direbbe un fisico, ti sta dicendo che
\[
\vec T\, ds = d\vec r.\]
Devi solo convincerti della (1).