Integrali curvilinei

[christian951]

Salve a tutti,ho un esercizio che mi chiede di calcolare gli integrali curvilinei di :
$ int_gammaF_1(x,y)dx+F_2(x,y)dy $
con
$ F_1(x,y)=(x^2+1)y $ ed $ F_2(x,y)=(xy^2+x+1) $ lungo la circonferenza $ gamma $ centrata nell'origine con raggio = 1

ho parametrizzato gamma come $ gamma(t)={ ( x=sin(t) ),( y=sin(t) ):} $ con $ 0<=y<=2pi $

Mi esce un integrale curvilinei di questo genere $ int_0^(2pi)(sin^2(t)cos(t)+cos(t)-sin^2(t)cos^2(t)-sin^2(t)-sin(t))dt $

mi chiedo se ci sia un modo più semplici per arrivare alla soluzione in quanto per calcolare gli integrali di $ -sin^2(t)cos(t) $ e $ sin^2(t)cos^2(t) $ ci vuole un bel po di tempo e calcoli...Help!

[christian951]

"TeM":Dunque, siano dati un campo vettoriale \(\mathbf{F} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) definito da \[ \mathbf{F}(x,\,y) := \left( x^2\,y + y, \; x\,y^2 + x + 1 \right) , \] il cui insieme di definizione risulta essere \[ D := \mathbb{R}^2\,, \] e un arco di curva di sostegno \(\gamma\) e di parametrizzazione \[ (x,\,y) := \mathbf{r}(\theta) = \left( \cos\theta, \; \sin\theta \right), \; \; \; \text{per} \; \theta \in [0,\,2\pi) \] ben definito in \(D\).


Notando che \[ \frac{\partial}{\partial x}\left(x\,y^2 + x + 1\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(x^2\,y+y\right) = -x^2+y^2 \ne 0 \] segue che \(\mathbf{F}\) è un campo vettoriale rotazionale in \(D\) e quindi sicuramente non conservativo in \(D\).

Alla luce di ciò, per calcolare il lavoro \(ℒ\) di \(\mathbf{F}\) lungo \(\gamma\) non si può contare su una potenziale
di \(\mathbf{F}\) in \(D\) (dato che non esiste, vista la non conservatività di \(\mathbf{F}\) in \(D\)) e quindi non rimane
che applicare la definizione (per quanto possa essere noioso/complicato), secondo la quale:
\[ ℒ_{\gamma}(\mathbf{F}) := \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot \text{d}\mathbf{s} = \int_0^{2\pi} \mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta)) \cdot \mathbf{r}'(\theta)\,\text{d}\theta = \int_0^{2\pi} \left(\cos\theta + \cos(2\theta)\right)\text{d}\theta = 0 \; . \]
Spero sia sufficientemente chiaro.


P.S.: se un campo vettoriale è conservativo in \(D\), l'integrale curvilineo di seconda specie lungo
qualsiasi curva chiusa posta in \(D\) è nullo a priori, mentre qualora un campo vettoriale non sia
conservativo in \(D\) allora l'integrale curvilineo di seconda specie lungo una curva chiusa posta
in \(D\) può essere sia nullo che non nullo, non lo si può dedurre a priori.

Ok,quindi l'integrale che ho scritto è corretto? ed è l'unica possibilità che ho di calcolarlo in quanto il campo non è conservativo ?
Non ho capito da dove esce $ int_0^(2pi)cos(theta)+cos(2theta) d(theta)=0 $

[christian951]

Data la formula $ int_a^b[(alpha(phi_1(t),phi_2(t))phi'(t)+beta(phi_1(t),phi_2(t))phi'_2(t)]dt $
ho parametrizzato la curva come $ gamma(t)={ ( x=cos(t) ),( y=sin(t) ):} $ con $ 0

Cita

Segnala

[christian951]

$ int_0^(2pi)[-cos^2(t)sin^2(t)-sin^2(t)+cos^2(t)sin^2(t)+cos^2(t)+cos(t)]dt=int_0^(2pi)[cos^2(t)-sin^2(t)+cos(t)]dt $

[christian951]

"TeM":Ora ci siamo! Ricordando la formula di duplicazione del coseno si ottiene esattamente l'integranda che ho scritto sopra.

Perfetto,grazie mille