Integrali curvilinei

[Deimos90rm]

Allora, vi mostro due integrali presenti nella dimostrazione della formula di Gauss-Green nel piano.

D è un dominio regolare del piano e f(x,y) una funzione di classe C1 in D.

i) D è normale rispetto all'asse y e delimitato dalle rette orizzontali y = c e y = d , con c < d , e dalle funzioni g(y) e h(y) , con g < h in D. Il primo integrale è questo:

$ int_(gamma )^() f dy=int_(c)^(d) f(h(y),y) dy $ ,

dove "gamma" è in pratica la curva h(y) compresa tra h(c) e h(d).


ii) Adesso invece D è normale rispetto all'asse x e delimitato dalle rette verticali x = a e x = b , con a < b, e dalle funzioni g(x) e h(x) , con g < h in D. L'altro integrale è

$ int_(gamma )^() f dy=int_(a)^(x) f(t,g(t))g'(t) dt $ ,

dove stavolta "gamma" è la porzione di g(x) che va da g(a) a g(x), dove x è un punto compreso strettamente tra a e b.

Vorrei capire qual è la differenza tra i due integrali, in particolare perchè nel secondo caso compare la derivata di g (cioè la sua tangente) e nel secondo caso no. La formula da applicare in questi casi è o non è quella dell'integrale di una forma differenziale esteso ad una curva, in cui compare sia la funzione da integrare sia la tangente alla curva?

[judoca1992]

Con il primo integrale il differenziale è dy quindi quando parametrizzi la curva con x=h(y) (per il tratto cd) non c'è bisogno di cambiarlo perchè stai mettendo tutto in funzione di y

Nel secondo integrale poichè hai sempre dy nel primo membro, e cambi variabile con y=g(t) devi cambiare il differenziale perchè stai mettendo tutto in funzione di t, quindi dy=g'(t) dt, propio come si fa anche nell'integrale di Riemann.

In questi due casi stai semplicemente cambiando variabile e per farlo devi cambiare anche il differenziale, in accordo con il cambio di variabile.

[Deimos90rm]

Ok avevo fatto un pò di confusione ma adesso ho capito.
Grazie mille, sei stato chiarissimo.