Integrali curvilinei

[emmerre1]

Salve a tutti avrei bisogno di un pò di chiarimenti. Ho un pò di confusione sull'integrale curvilineo,su cos'é il sostegno di una curva, e in particolare sul significato geometrico di tutto questo. Perché nella definizione si dice: l'integrale curvilineo di f su gamma ecc...gamma nn é la curva e quindi una funzione? Insomma avrei bisogno di un pò di chiarezza e se possibile vorrei vedere graficamente cosa succede. Grazie

[Frink1]

Il sostegno di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Ad esempio, se prendi $\gamma(t)=(\cos(t),\sin(t))$ per $t \in [0,1)$ il sostegno è una circonferenza di raggio $1$ centrata nell'origine.
L'integrale curvilineo di prima specie valuta un campo scalare $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$. Cosa fa esattamente questo integrale? Calcola l'area sottesa alla funzione. Ma non la calcola su un insieme di dimensione $n$, come sarebbe lecito aspettarsi: restringe l'attenzione ad una curva in $\mathbb{R}^n$, così che in effetti si calcola un integrale in una sola dimensione.

Ti lascio qui una gif, anche se non so se il forum le supporta, nel qual caso provvederò a fartela avere, che rende bene l'idea dell'interpretazione geometrica di tale integrale.

[dissonance]

@Frink: bella l'animazione. Segnalo, come al solito, questo sito per un sacco di immagini e javascript:

http://mathinsight.org/integrals_multiv ... eintscalar

[emmerre1]

grazie per la gif, vediamo se ho capito bene: f sarebbe quella roba colorata nello spazio, la curva sarebbe C, e quella linea rossa sarebbe il sostegno ovvero la proiezione della curva nel piano. Se ho capito bene, mi potreste fare anche degli esempi anche in due dimensioni? Grazie

[Frink1]

Tutto bene fino a "la proiezione della curva nel piano". Questo non è vero: la curva $C$ per come è rappresentata è parametrizzata da $\gamma:I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$. Significa che la curva $C$, definita come $\gamma(I)$ è contenuta in un piano, che sarà il piano $xy$. La funzione, che rappresenta con colori diversi per curve di livello diverse, è un campo scalare $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, che prende punti del piano $xy$ e a questi associa un punto sull'asse $z$.

[emmerre1]

Scusa ma non riesco a capire, quindi il sostegno della curva dov'è? purtroppo è difficile spiegarsi in questo modo, potresti essere più chiaro partendo dalla base sulle curve, la loro parametrizzazione e i sostegni. grazie