[Integrali] Coord. Polari
Ciao!
Qualcuno mi spiega quale ragionamento si deve fare per poter scrivere un insieme espresso in coordinate cartesiane in un insieme espresso in coordinate polari ? ( mi è utile per svolgere alcuni integrali doppi )
Ad esempio, considerato C l'insieme costituito dalla parte di corona circolare di centro (0,0) e raggi 1 e 2 contenuta nel semipiano y>=0, come faccio a scriverlo in coord. polari, posto x=pcosb ed y = psinb ? Il testo porta l'insieme scritto come 1<=p<=2, 0<=b<=pi-greco
Ma in base a quale ragionamento, o formula ?
Se consideriamo quest'altro:
E={(x,y) di R tali che 0<=y<=sqrt(3)x, 1<=x^2+y^2<=4
Come lo faccio diventare in coord. polari ?
Oppure questo:
E={(x,y) di R tali che x^2+(y-1)^2 <=1; x^2 + y^2 - 2y<=0}
Come diventa espresso in coord. polari ?
Please, help me!
Grazie!
Qualcuno mi spiega quale ragionamento si deve fare per poter scrivere un insieme espresso in coordinate cartesiane in un insieme espresso in coordinate polari ? ( mi è utile per svolgere alcuni integrali doppi )
Ad esempio, considerato C l'insieme costituito dalla parte di corona circolare di centro (0,0) e raggi 1 e 2 contenuta nel semipiano y>=0, come faccio a scriverlo in coord. polari, posto x=pcosb ed y = psinb ? Il testo porta l'insieme scritto come 1<=p<=2, 0<=b<=pi-greco
Ma in base a quale ragionamento, o formula ?
Se consideriamo quest'altro:
E={(x,y) di R tali che 0<=y<=sqrt(3)x, 1<=x^2+y^2<=4
Come lo faccio diventare in coord. polari ?
Oppure questo:
E={(x,y) di R tali che x^2+(y-1)^2 <=1; x^2 + y^2 - 2y<=0}
Come diventa espresso in coord. polari ?
Please, help me!
Grazie!
Risposte
prima fai il disegno dell'insieme poi
basta sostituire nel dominio piano le coordinate polari:
nella corona circolare viene 1<= p^2 <= 4 quindi 1<= p <= 2
(ricorda che p >0), poichè y > 0 l'argomento b varia come hai scritto.
nel secondo fai il disegno, sostituisci le coordinate polari
se ho fatto bene i calcoli viene 1<= p <= 2 0<= b <= Pi/3
nell' ultimo conviene eseguire il cambiamento di coordinate polari
x= p cos b y= 1 + p sen b
basta sostituire nel dominio piano le coordinate polari:
nella corona circolare viene 1<= p^2 <= 4 quindi 1<= p <= 2
(ricorda che p >0), poichè y > 0 l'argomento b varia come hai scritto.
nel secondo fai il disegno, sostituisci le coordinate polari
se ho fatto bene i calcoli viene 1<= p <= 2 0<= b <= Pi/3
nell' ultimo conviene eseguire il cambiamento di coordinate polari
x= p cos b y= 1 + p sen b
Nel secondo caso, 1<= p <= 2 viene fuori anche a me, però perchè 0<= b <= Pi/3 ?
Da dove viene fuori il pi-greco/3 ?
Da dove viene fuori il pi-greco/3 ?
Nel terzo caso viene:
-1<=p<=1 e 0<=b<=pi-greco ?
-1<=p<=1 e 0<=b<=pi-greco ?
Altra domanda:
E = { 0 <= x <= 2; sqrt( 1 - [x^(2) / 4] ) <= y <= sqrt( 4 - x^2 )
Ho trovato che 1 <= p <= 2 e l'angolo b dove è compreso ?
Accidenti, non ci sto capendo niente! In qualche modo p riesco sempre a trovarlo, ma b non ho capito proprio come si ricava...
E = { 0 <= x <= 2; sqrt( 1 - [x^(2) / 4] ) <= y <= sqrt( 4 - x^2 )
Ho trovato che 1 <= p <= 2 e l'angolo b dove è compreso ?
Accidenti, non ci sto capendo niente! In qualche modo p riesco sempre a trovarlo, ma b non ho capito proprio come si ricava...
eh eh...è un bel guaio..io avrei cmq fatto il contrario..b € [0,pi/2] e poi mi sarei messo a pensare come varia p in funzione di b. sicuramente ha come estremo superiore 2. come estremo inferiore devi imporre che p sia tale da "uscire" dall'ellisse.
per fare questo ti consiglio di scrivere l'ellisse in coordinate polari
4y^2+x^2=1 ==> 4p^2sin^2(b)+p^2cos^2(b)=1 ==>p^2(3sin^2(b)+1)=1
p=sqrt[1/(3sin^2(b)+1)]
questo p è il limite inferiore...quindi ricapitolando:
b€[0,pi/2]
p[sqrt[1/(3sin^2(b)+1)],2]
chiaro?
ciao
il vecchio
per fare questo ti consiglio di scrivere l'ellisse in coordinate polari
4y^2+x^2=1 ==> 4p^2sin^2(b)+p^2cos^2(b)=1 ==>p^2(3sin^2(b)+1)=1
p=sqrt[1/(3sin^2(b)+1)]
questo p è il limite inferiore...quindi ricapitolando:
b€[0,pi/2]
p[sqrt[1/(3sin^2(b)+1)],2]
chiaro?
ciao
il vecchio
si può fare in tanti modi, ad esempio dal disegno si può dedurre
che b è contenuto nel primo quadrante (quindi sen b e cos b sono >0)
sostituendo le coordinate polari su y<=sqrt(3)x
viene p sen b <=sqrt(3)p cos b divido tutto per p ( che è positivo per definizione) e ottengo
sen b <=sqrt(3) cos b questa è una disequazione trigonometrica
che può essere risolta dividendo tutto per cos b che è positivo
tg b <=sqrt(3) che risolta dà 0<= b <= Pi/3
nel terzo usando le coordinate polari che ho scritto sopra viene
p^2 <= 1 che risolta dà 0<=p<=1 non devi prendere i valori negativi
perchè p>0 per definizione. Poichè b è sempre verificato
0<= b <= 2Pi (in generale tutte le volte che il dominio è una
circonferenza come adesso 0<= p <= raggio , 0<= b <= 2Pi)
che b è contenuto nel primo quadrante (quindi sen b e cos b sono >0)
sostituendo le coordinate polari su y<=sqrt(3)x
viene p sen b <=sqrt(3)p cos b divido tutto per p ( che è positivo per definizione) e ottengo
sen b <=sqrt(3) cos b questa è una disequazione trigonometrica
che può essere risolta dividendo tutto per cos b che è positivo
tg b <=sqrt(3) che risolta dà 0<= b <= Pi/3
nel terzo usando le coordinate polari che ho scritto sopra viene
p^2 <= 1 che risolta dà 0<=p<=1 non devi prendere i valori negativi
perchè p>0 per definizione. Poichè b è sempre verificato
0<= b <= 2Pi (in generale tutte le volte che il dominio è una
circonferenza come adesso 0<= p <= raggio , 0<= b <= 2Pi)
beh..spero che rocco.g stia capendo qualcosa...io sinceramente mi sono perso...Piera stai rispondendo alle domande precedenti vero?
Si, diciamo che inizio a capire.
Tuttavia ho ancora dei dubbi sul terzo.
Perchè p deve essere maggiore di zero per definizione ?
A me viene questo:
-1<=p<=1 e 0<=b<=2pi-greco
Le due circonferenze in realtà sono la stessa di centro (0,1) e raggio 1.
Come funziona la storia dell'angolo nelle circonferenze ? è sempre 2pi-greco ?
Tuttavia ho ancora dei dubbi sul terzo.
Perchè p deve essere maggiore di zero per definizione ?
A me viene questo:
-1<=p<=1 e 0<=b<=2pi-greco
Le due circonferenze in realtà sono la stessa di centro (0,1) e raggio 1.
Come funziona la storia dell'angolo nelle circonferenze ? è sempre 2pi-greco ?
se guardi la definizione di coordinate polari
vedrai che se indichi ad esempio con Q(x,y) un punto
del piano, le sue coordinate polari sono x= p cos b
y = p sen b , dove p è la distanza di Q dall'origine
(distanza >0 )e b è l'angolo che la semiretta passante
per l'origine e per Q forma con il semiasse positivo delle x
nel terzo esercizio ho usato le coordinate polari traslate
cioè di centro (0,1)ma non cambia nulla.
prendi un punto Q che percorre la circonferenza
in senso antiorario, con la definizione che ti ho dato
l' angolo b varia da 0 a 2Pi.
quando invece il punto Q percorre una semicirconferenza
come nel primo esercizio che hai scritto l'angolo b
varia da 0 a Pi, alternativamente sostituendo su y >0 le
coordinate polari (sto facendo il primo quesito) si ha
p sen b >0 ovvero sen b >0 quindi 0<= b <= Pi
in genere, anche se non sempre, la circonferenza ci dice
come varia p, l'altra "cosa" che rimane ci dice come varia b.
se come nel terzo quesito c'è solo la circonferenza come ho
detto b andrà da 0 a 2Pi.
vedrai che se indichi ad esempio con Q(x,y) un punto
del piano, le sue coordinate polari sono x= p cos b
y = p sen b , dove p è la distanza di Q dall'origine
(distanza >0 )e b è l'angolo che la semiretta passante
per l'origine e per Q forma con il semiasse positivo delle x
nel terzo esercizio ho usato le coordinate polari traslate
cioè di centro (0,1)ma non cambia nulla.
prendi un punto Q che percorre la circonferenza
in senso antiorario, con la definizione che ti ho dato
l' angolo b varia da 0 a 2Pi.
quando invece il punto Q percorre una semicirconferenza
come nel primo esercizio che hai scritto l'angolo b
varia da 0 a Pi, alternativamente sostituendo su y >0 le
coordinate polari (sto facendo il primo quesito) si ha
p sen b >0 ovvero sen b >0 quindi 0<= b <= Pi
in genere, anche se non sempre, la circonferenza ci dice
come varia p, l'altra "cosa" che rimane ci dice come varia b.
se come nel terzo quesito c'è solo la circonferenza come ho
detto b andrà da 0 a 2Pi.
ok grazie ho capito tutto!
Ho capito anche che p deve essere per forza positivo!
Grazie Piera!
Ho capito anche che p deve essere per forza positivo!
Grazie Piera!
Ennesimo problema esistenziale!
Stavolta con un altro tipo di cambio di coordinate!
Dunque: ho l'integrale (x-y)^2 / ( x^2 + y^2) sull'insieme E = {(x,y) di R^2 tali che x>=0, y>=0, 1/2 <= x+ y <= 1 }
Il testo pone u = x - y e v = x + y, inoltre nota che u^2 + v^2 = 2(x^2 + y^2).
L'insieme lo scrive come: 1/2 <= v <= 1 e -v <= u <= v
Da dove esce la seconda relazione ??? Cioè: -v <= u <= v ??
Io non capisco perchè i libri non si soffermino a spiegare i passaggi ed i ragionamenti che ci stanno dietro per chiarire i passaggi, mi fanno venire il nervoso!
Qualcuno mi dice come fare ?
Il ragionamento da seguire anche in un caso generale...
please...
Stavolta con un altro tipo di cambio di coordinate!
Dunque: ho l'integrale (x-y)^2 / ( x^2 + y^2) sull'insieme E = {(x,y) di R^2 tali che x>=0, y>=0, 1/2 <= x+ y <= 1 }
Il testo pone u = x - y e v = x + y, inoltre nota che u^2 + v^2 = 2(x^2 + y^2).
L'insieme lo scrive come: 1/2 <= v <= 1 e -v <= u <= v
Da dove esce la seconda relazione ??? Cioè: -v <= u <= v ??
Io non capisco perchè i libri non si soffermino a spiegare i passaggi ed i ragionamenti che ci stanno dietro per chiarire i passaggi, mi fanno venire il nervoso!
Qualcuno mi dice come fare ?
Il ragionamento da seguire anche in un caso generale...
please...
beh...in questo caso puoi fare questoo tipo di ragionamento
il sistema della trasformazione è
{u=x-y
{v=x+y
da questo sistema si ricavano altre 2 equazioni:
{u=2x-v (*)
{u=v-2y (**)
ora poichè E è definito per x>0 e y>0, allora, dalla (*), si vede facilmente che u>=-v; e dalla (**) che u<=v.
quindi -v<=u<=v.
a questo punto potrai applicare il teorema di sostituzione, calcoli il determinante della jacopiana..etc.. e poi il th. di separazione e il gioco è fatto!
chiaro?
il sistema della trasformazione è
{u=x-y
{v=x+y
da questo sistema si ricavano altre 2 equazioni:
{u=2x-v (*)
{u=v-2y (**)
ora poichè E è definito per x>0 e y>0, allora, dalla (*), si vede facilmente che u>=-v; e dalla (**) che u<=v.
quindi -v<=u<=v.
a questo punto potrai applicare il teorema di sostituzione, calcoli il determinante della jacopiana..etc.. e poi il th. di separazione e il gioco è fatto!
chiaro?
scusa, ma che libro usi...l'insieme E che ho disegnato mi sembra familiare...credo che ce lo abbia presentato la prof a lezione...boh...
cmq se fai caso, con trasformazione (u,v) di fatto ora il trapezio è diventato un dominio normale rispetto all'asse y.
cmq se fai caso, con trasformazione (u,v) di fatto ora il trapezio è diventato un dominio normale rispetto all'asse y.
Marcellini-Sbordone, parte 2 del volume 2 degli esercizi.
Si cmq ora mi è molto più chiaro!
Grazie!!!
Si cmq ora mi è molto più chiaro!
Grazie!!!
eh si...mi sa proprio che è lo stesso libro...solo che io ho usato l'edizione nuova, quella "ridotta"... [;)]
il libro degli esercizi invece non l'ho nemmeno mai visto!! [:D][:D][:D][:D][:D][:D][:D]
domani ho i risultati del mio esame di analisi 2!! allo scritto ho preso 28 di media, 26 l'esonero e 30 l'esame!! ora vediamo com'è andata la prova teorica!!
ciaooooooooo
il libro degli esercizi invece non l'ho nemmeno mai visto!! [:D][:D][:D][:D][:D][:D][:D]
domani ho i risultati del mio esame di analisi 2!! allo scritto ho preso 28 di media, 26 l'esonero e 30 l'esame!! ora vediamo com'è andata la prova teorica!!
ciaooooooooo
beato te!
Io non faccio esoneri, faccio lo scritto e poi l'orale... ma già superare lo scritto è un'impresa!!!
cmq vi sottopongo quest'altro, vediamo se ho capito:
E = { x>=0, y>=0, 1 <= x + 3y <= 2}
Ho posto u = x + 3y, v = 2x- y ( dato che così l'integrale si semplifica di molto )
Quindi il nuovo insieme sarebbe: 1<=u<=2 e 2u <= v <= -u/3 ???
Ditemi di si
p.s. buona fortuna per l'esame!
Io non faccio esoneri, faccio lo scritto e poi l'orale... ma già superare lo scritto è un'impresa!!!
cmq vi sottopongo quest'altro, vediamo se ho capito:
E = { x>=0, y>=0, 1 <= x + 3y <= 2}
Ho posto u = x + 3y, v = 2x- y ( dato che così l'integrale si semplifica di molto )
Quindi il nuovo insieme sarebbe: 1<=u<=2 e 2u <= v <= -u/3 ???
Ditemi di si
p.s. buona fortuna per l'esame!
non vorrei darti una brutta notizia...ma direi di no...almeno che non mistia sbagliando io...ma non mi pare...hai sbagliato il verso delle disequazioni!!
-u/3<=v<=2u
ricontrolla...
-u/3<=v<=2u
ricontrolla...
emh... sisi, ho sbagliato a scrivere!
quello negativo ( più piccolo ) va a sinistra... in effetti!
Però i valori sono quelli ?
quello negativo ( più piccolo ) va a sinistra... in effetti!
Però i valori sono quelli ?
si si...giusto...è come l'esercizio di prima...
okx 
Grazie per l'aiuto, vecchio e Piera!
Grazie per l'aiuto, vecchio e Piera!
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