Integrali confronto asintotico

[zio_mangrovia]

$\int_0^1 x^3/sqrt(1-x^4)dx$

Pensavo di studiare il carattere dell'integrale con il confronto asintotico... mi date una mano?

[pilloeffe]

Ciao zio_mangrovia,

I problemi sorgono per $x = 1$. Osserva però che $sqrt{1 - x^4} = sqrt{(1 - x^2)(1 + x^2)} = $
$= sqrt{(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)}$ [tex]\sim[/tex] $2 sqrt{1 - x}$.
Peraltro, ponendo $t := 1 - x^4$ l'integrale diventa praticamente immediato:

$\int x^3/sqrt(1-x^4)dx = - \int frac{1}{sqrt{t}} = - frac{1}{2} t^{1/2} + c = - frac{1}{2} sqrt(1 - x^4) + c $

da cui si vede quasi subito che l'integrale proposto converge a $frac{1}{2}$

[zio_mangrovia]

"pilloeffe":
I problemi sorgono per $x = 1$. Osserva però che $sqrt{1 - x^4} = sqrt{(1 - x^2)(1 + x^2)} = $
$= sqrt{(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)}$ [tex]\sim[/tex] $2 sqrt{1 - x}$.

Ho capito finalmente! E' corretto concludere in questo modo?

il problema lo abbiamo nell'estremo di integrazione $1$ pertanto non preoccupiamoci dello $0$, e applicando il criterio del confronto asintotico:
$\lim_(x->1^-)((x^3)sqrt(1-x))/sqrt{(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)}=(x^3)/sqrt{(1 + x)(1 + x^2)}=1/2$

da cui i due integrali si comportano nello stesso modo in $x=1$ cioè convergono perché converge $sqrt(1 - x)$

che dite?