Integrali con radici

[caronte559]

Ciao,
Come si risolvono questi due integrali?

1) $\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$
2) $\int \frac{dx}{\sqrt{1+\sqrt{x}}$

Scusate, so che e' buona regola far vedere che ci si sta provando, ma in questo caso non so proprio da dove cominciare...
Basta che mi dite quale metodo utilizzare e come trasformarlo per renderlo piu' chiaro.

[Lord K]

Per il primo, si tratta di una primitiva diretta.

$int (dx)/sqrt(1+x^2) = sinh phi+c$

Per il secondo:

prova con la sostituzione: $x= sinh^4 phi$ da cui $dx = 4sinh^3 phi*cosh phi dphi$

$int (dx)/sqrt(1+sqrt(x)) = int (4sinh^3 phi*cosh phi)/cosh phi d phi = 4 int sinh^3 phi d phi = 4 int sinh phi(cosh^2 phi + 1)dphi = 4 int sinh phi d phi + 4 int cosh^2 phi d cosh phi = 4cosh phi + 4/3 cosh^3 phi + c$

con la sostituzione inversa:

$sinh phi = root(4)(x)$

e siccome:

$sinh^2 phi+1 = cosh^2 phi$

$4cosh phi + 4/3 cosh^3 phi + c = 4cosh phi ( 1+1/3cosh^2 phi)+c = 4sqrt(sqrt(x)+1)*(1+1/3(sqrt(x)+1))+c$

A meno di errori dovrebbe essere la soluzione.

[caronte559]

Grazie,
Non mi ero proprio accorto che il primo era imediato...

[Lord K]

Di nulla