Integrali con mathematica
$\int_{-infty}^{infty} (sin(2x)-cos(x))/(x^4+2) dx$
calcolando questo integrale con i residui mi sono accorto che mi veniva un risultato con i numeri complessi , infatti poi utilizzando
mathematica ottengo $ a (i+e^(i 2^(3/4)))$ dove $a$ è un numero non complesso
Quindi.... è possibile che l'integrale di una funzione reale sia complesso ? io direi proprio di no , ma allora non mi spiego il risultato.
calcolando questo integrale con i residui mi sono accorto che mi veniva un risultato con i numeri complessi , infatti poi utilizzando
mathematica ottengo $ a (i+e^(i 2^(3/4)))$ dove $a$ è un numero non complesso
Quindi.... è possibile che l'integrale di una funzione reale sia complesso ? io direi proprio di no , ma allora non mi spiego il risultato.
Risposte
Non è assolutamente possibile.
Le unità immaginarie devono semplificarsi, perchè quell'integrale è reale.
Rifai i conti e lascia perdere il software... Anche se, detto tra noi, a me il risultato dell'integrale lo fornisce come deve essere, cioè reale.
Le unità immaginarie devono semplificarsi, perchè quell'integrale è reale.
Rifai i conti e lascia perdere il software... Anche se, detto tra noi, a me il risultato dell'integrale lo fornisce come deve essere, cioè reale.
io ho fatto così: l'integrale è evidentemente equivalente a $\int_{-infty}^{infty} - cos(x)/(x^4+2) dx$ a questo punto considero evidentemente la funzione di variabile complessa $\int e^(iz)/(z^4+2) dz$ dove il dominio è una semicirconferenza sul semipiano superiore.
I poli della funzione sono $a=2^(1/4) e^(i\pi/4)$ e $b=2^(1/4) e^(i\pi3/4)$ i residui sono quindi:
$R[a]=e^(ia)/(4 a^3)$ $R=e^(ib)/(4 b^3)$ il mio problema sorge quando devo sommare i residui perchè ci sono le $i$ praticamente ovunque.
$2\pi i(R[a]+R$
I poli della funzione sono $a=2^(1/4) e^(i\pi/4)$ e $b=2^(1/4) e^(i\pi3/4)$ i residui sono quindi:
$R[a]=e^(ia)/(4 a^3)$ $R=e^(ib)/(4 b^3)$ il mio problema sorge quando devo sommare i residui perchè ci sono le $i$ praticamente ovunque.
$2\pi i(R[a]+R$
comunque utilizzando la funzione Nintegrate con mathematica ottengo -0.805496 , mentre utilizzando la funzione integrate ottengo il risultato complesso che ho sopra riportato. ma!.....le stranezze della vita...
Provato a mettere [tex]$+\infty$[/tex] come estremo superiore?
Probabile che se metti solo [tex]$\infty$[/tex] lui lo prenda come infinito complesso.
Ad ogni modo noto che, posto [tex]$a=\xi +\imath\ \eta$[/tex] (per comodità), si ha [tex]$b=-\xi +\imath\ \eta=-\overline{a}$[/tex]; ergo:
[tex]$e^{\imath\ b}=e^{-\imath\ \overline{a}} =e^{\overline{\imath\ a}} =\overline{e^{\imath\ a}}$[/tex]
(sfruttando [tex]$\overline{z}\ \overline{\zeta}=\overline{z\ \zeta}$[/tex] e [tex]$e^{\overline{z}}=\overline{e^z}$[/tex]); d'altra parte:
[tex]$b^3=-\overline{a}^3 =-\overline{a^3}$[/tex]
(perchè [tex]$\overline{z^n}=\overline{z}^n$[/tex]).
Quindi, detto [tex]$R$[/tex] il residuo in [tex]$a$[/tex], si vede che il residuo in [tex]$b$[/tex] è [tex]$-\overline{R}$[/tex] cosicché la somma dei residui [tex]$\Sigma :=R-\overline{R}$[/tex] è immaginario puro; perciò [tex]$2\pi\ \imath\ \Sigma$[/tex] fornisce un reale, come si voleva.
Probabile che se metti solo [tex]$\infty$[/tex] lui lo prenda come infinito complesso.
Ad ogni modo noto che, posto [tex]$a=\xi +\imath\ \eta$[/tex] (per comodità), si ha [tex]$b=-\xi +\imath\ \eta=-\overline{a}$[/tex]; ergo:
[tex]$e^{\imath\ b}=e^{-\imath\ \overline{a}} =e^{\overline{\imath\ a}} =\overline{e^{\imath\ a}}$[/tex]
(sfruttando [tex]$\overline{z}\ \overline{\zeta}=\overline{z\ \zeta}$[/tex] e [tex]$e^{\overline{z}}=\overline{e^z}$[/tex]); d'altra parte:
[tex]$b^3=-\overline{a}^3 =-\overline{a^3}$[/tex]
(perchè [tex]$\overline{z^n}=\overline{z}^n$[/tex]).
Quindi, detto [tex]$R$[/tex] il residuo in [tex]$a$[/tex], si vede che il residuo in [tex]$b$[/tex] è [tex]$-\overline{R}$[/tex] cosicché la somma dei residui [tex]$\Sigma :=R-\overline{R}$[/tex] è immaginario puro; perciò [tex]$2\pi\ \imath\ \Sigma$[/tex] fornisce un reale, come si voleva.
intanto grazie mille, questi giorni mi stai aiutando sempre!
Ho capito perfettamente il tuo ragionamento ,tuttavia adesso per avere l'immaginario puro dovrei scrivere R nella forma $R=x+iy$ e poi la stessa cosa per il complesso coniugato , tuttavia non riesco a farlo infatti $e^(ia)/(4a^3)= (cos(a)+isin(a))/(4a^3)$ dove sappiamo che $a$ è complesso, quindi scrivere $R$ nella forma $x+iy$ risulta un gran casino. Comunque non importa ,non è così importante questa cosa, intanto mi hai fatto vedere che l'integrale non è
complesso è mi basta e avanza .
Ho capito perfettamente il tuo ragionamento ,tuttavia adesso per avere l'immaginario puro dovrei scrivere R nella forma $R=x+iy$ e poi la stessa cosa per il complesso coniugato , tuttavia non riesco a farlo infatti $e^(ia)/(4a^3)= (cos(a)+isin(a))/(4a^3)$ dove sappiamo che $a$ è complesso, quindi scrivere $R$ nella forma $x+iy$ risulta un gran casino. Comunque non importa ,non è così importante questa cosa, intanto mi hai fatto vedere che l'integrale non è
complesso è mi basta e avanza .
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