Integrali col metodo dei residui
Ciao ragazzi ! Sto cercando di risolvere il seguente esercizio di Analisi Complessa.
Mi dice: mostrare che $ int_(0)^(oo) dx/(1+x^6) = pi/3 $
Una volta che ho trasformato la variabile reale in una variabile complessa z, arrivo a un punto in cui il Residuo vale:
$ Rkappa = 1/(6z^5) = 1/6e^((i(2k+1)pi)/6 $
Poichè K = 0,....5 faccio le opportune sostituzioni. Tuttavia non riesco a capire come si arriva alla soluzione di $ pi/3 $
Il mio libro mette che $ int_(0)^(oo) dx/(1+x^6) = pi/6i(e^(-i5pi/6)+ e^(-i15pi/6)+ e^(-i25pi/6)) $
Che sono praticamente le sostituzioni di K=0,1,2. E le altre dove sono finite? k non deve assumere anche i valori 3,4,5?
Sapreste spiegarmi perchè il libro procede cosi? Eventualmente come si procede per arrivare al risultato finale?
Grazie in anticipo per la risposta. Spero possiate darmi una mano.
Mi dice: mostrare che $ int_(0)^(oo) dx/(1+x^6) = pi/3 $
Una volta che ho trasformato la variabile reale in una variabile complessa z, arrivo a un punto in cui il Residuo vale:
$ Rkappa = 1/(6z^5) = 1/6e^((i(2k+1)pi)/6 $
Poichè K = 0,....5 faccio le opportune sostituzioni. Tuttavia non riesco a capire come si arriva alla soluzione di $ pi/3 $
Il mio libro mette che $ int_(0)^(oo) dx/(1+x^6) = pi/6i(e^(-i5pi/6)+ e^(-i15pi/6)+ e^(-i25pi/6)) $
Che sono praticamente le sostituzioni di K=0,1,2. E le altre dove sono finite? k non deve assumere anche i valori 3,4,5?
Sapreste spiegarmi perchè il libro procede cosi? Eventualmente come si procede per arrivare al risultato finale?
Grazie in anticipo per la risposta. Spero possiate darmi una mano.
Risposte
Devi considerare solo i residui delle singolarità contenute nella regione di piano interna al cammino di integrazione.
Se questo è la solita semicirconferenza, allora è normale che metà delle singolarità rimangano fuori.
Se questo è la solita semicirconferenza, allora è normale che metà delle singolarità rimangano fuori.
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