Integrali
Avrei un integrale da risolvere (in questo caso usando l'integrazione delle funzioni razionali con A, B ...ecc) posto anche qualche passaggio... mi potreste aiutare per favore?
$int (x-2)/(x(x^2+4))dx$
Ho ragionato così:
$A/x+(2Bx+c)/(x^2+4)=(x-2)/(x(x^2+4))$
Da qui ho iniziato calcolando $A=(x-2)/(x^2+4)$ perché ho moltiplicato tutto per $x$ e posto $x=0$ da qui sostituendolo ho $A=-1/2$
Da qui la prima parte della soluzione è $-1/2log|x|$
Poi ho posto $x=2$ e ottengo $-1/4+(4B+C)/8=0$ e risolvendolo ho $C=2-4B$
Poi ho posto $x=-2$ e ottengo $1/4 + (-4B+C)/8=1/4$ e quindi $B=1/4$
La soluzione di questa parte sarà quindi $1/4log(x^2+4)$
Adesso iniziano i problemi: con la sostituzione della $B$ trovata a $C=2-4B$ ottengo $C=1$
Cioè come soluzione $1int1/(x^2+4)$ che assomiglia all'arcotangente ma non mi torna con questo metodo come sul libro cioè dovrebbe tornare $1/2arctg(x/2)$; come mai?
Un'altra domanda: nel caso di $int(x+3)/(x^3(x-1))$ le "lettere" come si postano? Per iniziare avevo messo $A/x+B/(x-1)+(d/dx)C/x^2=(x+3)/(x^3(x-1))$ ma non penso che sia giusto per il semplice fatto che il risultato poi non mi torna e comunque non riesco a svolgere la $C$ a causa del $d/dx$ che non ho idea su come comportarmi con esso...
Mi potreste aiutare per favore?
$int (x-2)/(x(x^2+4))dx$
Ho ragionato così:
$A/x+(2Bx+c)/(x^2+4)=(x-2)/(x(x^2+4))$
Da qui ho iniziato calcolando $A=(x-2)/(x^2+4)$ perché ho moltiplicato tutto per $x$ e posto $x=0$ da qui sostituendolo ho $A=-1/2$
Da qui la prima parte della soluzione è $-1/2log|x|$
Poi ho posto $x=2$ e ottengo $-1/4+(4B+C)/8=0$ e risolvendolo ho $C=2-4B$
Poi ho posto $x=-2$ e ottengo $1/4 + (-4B+C)/8=1/4$ e quindi $B=1/4$
La soluzione di questa parte sarà quindi $1/4log(x^2+4)$
Adesso iniziano i problemi: con la sostituzione della $B$ trovata a $C=2-4B$ ottengo $C=1$
Cioè come soluzione $1int1/(x^2+4)$ che assomiglia all'arcotangente ma non mi torna con questo metodo come sul libro cioè dovrebbe tornare $1/2arctg(x/2)$; come mai?
Un'altra domanda: nel caso di $int(x+3)/(x^3(x-1))$ le "lettere" come si postano? Per iniziare avevo messo $A/x+B/(x-1)+(d/dx)C/x^2=(x+3)/(x^3(x-1))$ ma non penso che sia giusto per il semplice fatto che il risultato poi non mi torna e comunque non riesco a svolgere la $C$ a causa del $d/dx$ che non ho idea su come comportarmi con esso...
Mi potreste aiutare per favore?
Risposte
Per il primo:
$1int1/(x^2+4)dx=1/2*int(1/2)/((x/2)^2+1)dx=1/2 arctg(x/2)+c$, se non capisci usa la "sostituzione immediata" cioè poni $x=2t$ da cui $dx=2tdt$ e lo risolvi in un attimo
Per il secondo esercizio devi porre $A/x+B/x^2+C/x^3+D/(x-1)=(x+3)/(x^3(x-1))$
$1int1/(x^2+4)dx=1/2*int(1/2)/((x/2)^2+1)dx=1/2 arctg(x/2)+c$, se non capisci usa la "sostituzione immediata" cioè poni $x=2t$ da cui $dx=2tdt$ e lo risolvi in un attimo
Per il secondo esercizio devi porre $A/x+B/x^2+C/x^3+D/(x-1)=(x+3)/(x^3(x-1))$
Grazie!!! Per la prima che visto il procedimento adesso mi è chiara; ed ho provato anche a fare con la sostituzione e viene tutto perfetto!
Con il secondo esercizio ho impostato come suggerito e mi torna effettivamente tutto cioè di $int(x+3)/(x^3(x-1))$ ottengo come risultato $-4log|x|+4/x+4log(x-1)+3int1/x^3$
Però non riesco a risolvere (tanto per cambiare) l'integrale che come soluzione di $3int1/x^3$ dovrei avere $3/(2x^2)$ che effettivamente facendo la derivata ottengo il valore dell'integrale moltiplicato per 3... ma senza la soluzione, come arrivavo a capire che era $3/(2x^2)$ ?
Io avevo provato con l'integrazione per parti ma non riesco, metto i passaggi (tralasciando per adesso il numero 3 davanti l'integrale):
$int (1*1/x^3)dx =x*1/x^3 - intx*3/x^4 dx= 1/x^2-int 3/x^3 dx $
Mi potreste aiutare per favore?
Con il secondo esercizio ho impostato come suggerito e mi torna effettivamente tutto cioè di $int(x+3)/(x^3(x-1))$ ottengo come risultato $-4log|x|+4/x+4log(x-1)+3int1/x^3$
Però non riesco a risolvere (tanto per cambiare) l'integrale che come soluzione di $3int1/x^3$ dovrei avere $3/(2x^2)$ che effettivamente facendo la derivata ottengo il valore dell'integrale moltiplicato per 3... ma senza la soluzione, come arrivavo a capire che era $3/(2x^2)$ ?
Io avevo provato con l'integrazione per parti ma non riesco, metto i passaggi (tralasciando per adesso il numero 3 davanti l'integrale):
$int (1*1/x^3)dx =x*1/x^3 - intx*3/x^4 dx= 1/x^2-int 3/x^3 dx $
Mi potreste aiutare per favore?
Se $a!=-1$, una primitiva di $x^a$ è della forma $(x^{a+1})/(a+1)+c$, $ c \in RR$, quindi... 
Non devi scriverlo così $int 1/x^3 dx$ ma così $int x^(-3)dx$ e poi usare la formula proposta da amel
Grazie! Adesso torna tutto!Se dovessi avere altri problemi con gli integrali posterò qui, grazie ancora per le spiegazioni molto chiare @melia e amel!
-Avrei bisogno di un chiarimento su questo esercizio:$\int_-1^0(1/(1+x)^(1/2))dx$
Praticamente arrivo al punto in cui c'è da fare il limite: sul quaderno ho $lim_(t->0^-)(2-2(1+t)^(1/2))=2$ ma rifacendo questo esercizio il limite l'ho fatto con $t->0^+$... qual è giusto? Cioè se è giusto quello del quaderno con $t->0^-$ mi potreste dire anche perché per favore?
-Poi non ho il risultato di questo esercizio di cui vorrei per favore sapere il parametro $k$ che nell'area della regione: $A={(x,y) in R^2 : 1
-Infine sempre sullo stesso genere di esercizio questa volta non riesco proprio ad andare avanti con i passaggi
e devo trovare il valore $alpha$ che so essere un numero reale Positivo!
$A={(x,y) in R^2 : 1
Praticamente faccio l'integrale: $\int_1^(3\alpha+1)(1/(1+x)^(1/2))dx$
Da qui ottengo $[(log^2x)/2-x]|_1^(3\alpha+1)$ cioè: $(log^2(3/alpha+1))/2+1$ ... e qui non so più procedere anche perché $alpha$ in questo modo non mi viene negativo? Ho sbagliato qualcosa! Mi aiutate per piacere?
Praticamente arrivo al punto in cui c'è da fare il limite: sul quaderno ho $lim_(t->0^-)(2-2(1+t)^(1/2))=2$ ma rifacendo questo esercizio il limite l'ho fatto con $t->0^+$... qual è giusto? Cioè se è giusto quello del quaderno con $t->0^-$ mi potreste dire anche perché per favore?
-Poi non ho il risultato di questo esercizio di cui vorrei per favore sapere il parametro $k$ che nell'area della regione: $A={(x,y) in R^2 : 1
-Infine sempre sullo stesso genere di esercizio questa volta non riesco proprio ad andare avanti con i passaggi
e devo trovare il valore $alpha$ che so essere un numero reale Positivo!$A={(x,y) in R^2 : 1
Praticamente faccio l'integrale: $\int_1^(3\alpha+1)(1/(1+x)^(1/2))dx$
Da qui ottengo $[(log^2x)/2-x]|_1^(3\alpha+1)$ cioè: $(log^2(3/alpha+1))/2+1$ ... e qui non so più procedere anche perché $alpha$ in questo modo non mi viene negativo? Ho sbagliato qualcosa! Mi aiutate per piacere?
Riguardo al primo integrale, non capisco che difficoltà incontri... $1+x=t$ e diventa subito $int_0^1 t^(-1/2) dt$, e da qui in poi non c'è bisogno di fare nessun limite...
Che procedimento hai scritto sul tuo quaderno? Potresti ricopiarlo per farcelo vedere? E poi $lim_(t->0^-) (2-2(1+t)^(1/2))$ fa 0, non 2...
Riguardo agli altri due non si capisce cosa stai facendo... "vorrei per favore sapere il parametro k che nell'area della regione" che frase è?!?!?!?
Vuoi trovare il valore di k tale che succede cosa?? Stessa cosa per $\alpha$ nell'integrale successivo... Spiegati meglio!
Che procedimento hai scritto sul tuo quaderno? Potresti ricopiarlo per farcelo vedere? E poi $lim_(t->0^-) (2-2(1+t)^(1/2))$ fa 0, non 2...
Riguardo agli altri due non si capisce cosa stai facendo... "vorrei per favore sapere il parametro k che nell'area della regione" che frase è?!?!?!?
Vuoi trovare il valore di k tale che succede cosa?? Stessa cosa per $\alpha$ nell'integrale successivo... Spiegati meglio!
non ho seguito tutto, ma nell'ultimo passaggio non mi spiego perché hai scritto +1 e non hai sostituito $3alpha+1$ a x ...
Scusatemi se mi sono spiegata male!
Del primo: $int_-1^0 (1/(1+x)^(1/2)) dx= lim_(t->-1^-)int_t^0 1/((1+x)^(1/2))$ dato che il dominio è $x>(-1)$ e da qui era partito il mio ragionamento riguardo al limite... e la mia domanda è: $t$ va fatta tendere a $-1$ da destra o da sinistra: $t->-1^-$ oppure $t->-1^+$?
Che fa $2$ è certo perché ottengo $lim_(t->-1) (2-2(1+t)^(1/2))$ e quindi poiché $(1+t)^(1/2)$ tende a $0$ il risultato è $2$!
Per il secondo esercizio (mi riferisco all'esercizio con il parametro k), il testo chiede di trovare l'area della regione piana contenuta tra $A={(x,y) in R^2 : 1
Riguardo al terzo esercizio chiede: Si determini il valore del parametro $alpha$ per cui l'area della regione piana
$A={(x,y) in R^2 : 1
$[(log^2x)/2-x]|_1^(3\alpha+1)$
E risolvendo e mettendolo uguale a tre, poiché l'area deve risultare uguale a 3, ho:
$(log^2(3alpha+1))/2-3alpha =3$ e da qui posso scrivere $(log^2(3alpha+1))-6alpha =6$ ma adesso perché non riesco ad andare avanti con i passaggi...
Del primo: $int_-1^0 (1/(1+x)^(1/2)) dx= lim_(t->-1^-)int_t^0 1/((1+x)^(1/2))$ dato che il dominio è $x>(-1)$ e da qui era partito il mio ragionamento riguardo al limite... e la mia domanda è: $t$ va fatta tendere a $-1$ da destra o da sinistra: $t->-1^-$ oppure $t->-1^+$?
Che fa $2$ è certo perché ottengo $lim_(t->-1) (2-2(1+t)^(1/2))$ e quindi poiché $(1+t)^(1/2)$ tende a $0$ il risultato è $2$!
Per il secondo esercizio (mi riferisco all'esercizio con il parametro k), il testo chiede di trovare l'area della regione piana contenuta tra $A={(x,y) in R^2 : 1
Riguardo al terzo esercizio chiede: Si determini il valore del parametro $alpha$ per cui l'area della regione piana
$A={(x,y) in R^2 : 1
$[(log^2x)/2-x]|_1^(3\alpha+1)$
E risolvendo e mettendolo uguale a tre, poiché l'area deve risultare uguale a 3, ho:
$(log^2(3alpha+1))/2-3alpha =3$ e da qui posso scrivere $(log^2(3alpha+1))-6alpha =6$ ma adesso perché non riesco ad andare avanti con i passaggi...
Meno male, almeno il terzo ora si capisce. Ma nel secondo, se devi trovare l'area dell'insieme A al variare di k, come cavolo fai a "trovare k" ???
Se l'area è data in funzione di k, per trovare un valore numerico di k dovresti imporre il valore dell'area uguale a qualche cosa (come 3 nel terzo
esercizio), e almeno io questo valore non sono ancora riuscito a capire qual è!!!
Se l'area è data in funzione di k, per trovare un valore numerico di k dovresti imporre il valore dell'area uguale a qualche cosa (come 3 nel terzo
esercizio), e almeno io questo valore non sono ancora riuscito a capire qual è!!!
"Yuuki Kuran":
Scusatemi se mi sono spiegata male!
Del primo: $int_-1^0 (1/(1+x)^(1/2)) dx= lim_(t->-1^-)int_t^0 1/((1+x)^(1/2))$ dato che il dominio è $x>(-1)$ e da qui era partito il mio ragionamento riguardo al limite... e la mia domanda è: $t$ va fatta tendere a $-1$ da destra o da sinistra: $t->-1^-$ oppure $t->-1^+$?
Che fa $2$ è certo perché ottengo $lim_(t->-1) (2-2(1+t)^(1/2))$ e quindi poiché $(1+t)^(1/2)$ tende a $0$ il risultato è $2$!
Nel post precedente avevi mandato t a 0, non a -1, ovvio che adesso fa 2 il limite... Sei un po' confusionaria...
Comunque, ti rigiro la domanda: se il dominio è ${x\in RR: x> -1}$, t tende a -1 da destra o da sinistra???
Per quanto riguarda il terzo esercizio, l'equazione in $\alpha$ che ottieni è corretta, solo che non può essere
risolta con metodi elementari essendo un'equazione trascendente e non algebrica. Risolvendola con un metodo
numerico ottieni $\alpha= -0.2909582897$
risolta con metodi elementari essendo un'equazione trascendente e non algebrica. Risolvendola con un metodo
numerico ottieni $\alpha= -0.2909582897$
$t$ dovrebbe tendere a $-1$ da destra in quanto a sinistra la funzione non è definita... secondo me è così: $t->-1^+$, giusto?
Per l'esercizio con $alpha$ grazie, ecco perché non riuscivo a risolvere!
Riporto il testo dell'ersercizio così come è scritto: Si indichi con $k_0=1/e$ e si calcoli, al variare del parametro $k$ quando $k_0
Riguardo a $k$ so quindi che il valore che deve assumere è tra $1/e
Per l'esercizio con $alpha$ grazie, ecco perché non riuscivo a risolvere!
Riporto il testo dell'ersercizio così come è scritto: Si indichi con $k_0=1/e$ e si calcoli, al variare del parametro $k$ quando $k_0
Riguardo a $k$ so quindi che il valore che deve assumere è tra $1/e
"Yuuki Kuran":
$t$ dovrebbe tendere a $-1$ da destra in quanto a sinistra la funzione non è definita... secondo me è così: $t->-1^+$, giusto?
Per l'esercizio con $alpha$ grazie, ecco perché non riuscivo a risolvere!
Certo che tende a -1 da destra!
Riguardo al testo del secondo esercizio, fa bene a dire che k dev'essere maggiore di $1/e$ in quanto per tali valori di k si ha che
$kx>log x\quad\forall x >0$ e quindi quando vai a integrare la differenza tra $kx$ e $logx$ ottieni una quantità positiva, cosa che è in accordo
col fatto che l'esercizio richiede di calcolare un'AREA.
Se l'esercizio richiede di calcolare l'area, basta: il risultato è, come giustamente dici tu, $(ke^2)/2-k/2- 1$, l'esercizio è finito qui!
Non dice altro, come anche tu giustamente dici; ma allora, perché poi uguagli l'area a zero?!?!?!?
Hai ragione! Grazie per avermi dato anche la spiegazione!Certo che tende a -1 da destra!
Perfetto!Grazie ancora
Toglimi una curiosità: perché volevi a tutti i costi trovare k? Perché imponevi l'area uguale a 0?
Sinceramente perché pensavo bisognasse trovare k risolvendo l'equazione (ho ancora l'abitudine a risolverle senza pensare però a cosa sto facendo) ma non avevo pensato al fatto che era sbagliato oltre al fatto che mettevo l'area uguale a 0!
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