Integrali
sia $f$ derivabile due volte e tale che $f(1)=f'(1)=1$ e $f''(x)<=1 $ per ogni $x\e\R$
provare che
l'integrale tra $o$ e $1$ di $(f(x) - x)*dx<=(1/6)$
aiutooooo...
provare che
l'integrale tra $o$ e $1$ di $(f(x) - x)*dx<=(1/6)$
aiutooooo...
Risposte
Vale $\int_0^1 (f(x) - x) dx = \int_0^1 f(x) dx - \int_0^1 x dx = \int_0^1 f(x) dx - \frac{1}{2}$. Ora integrando per parti si ottiene
$\int_0^1 f(x) dx = [x f(x)]_0^1 - \int x f'(x) dx = 1 - [\frac{x^2}{2} f'(x)]_0^1 + \int_0^1 \frac{x^2}{2} f''(x) dx = 1 - \frac{1}{2} + \int_0^1 \frac{x^2}{2} f''(x) dx$,
Dato che $f''(x) \le 1$, allora $\int_0^1 \frac{x^2}{2} f''(x) dx \le \int_0^1 \frac{x^2}{2} dx = \frac{1}{6}$
Quindi rimettendo insieme i pezzi
$\int_0^1 (f(x) - x) dx \le 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$
$\int_0^1 f(x) dx = [x f(x)]_0^1 - \int x f'(x) dx = 1 - [\frac{x^2}{2} f'(x)]_0^1 + \int_0^1 \frac{x^2}{2} f''(x) dx = 1 - \frac{1}{2} + \int_0^1 \frac{x^2}{2} f''(x) dx$,
Dato che $f''(x) \le 1$, allora $\int_0^1 \frac{x^2}{2} f''(x) dx \le \int_0^1 \frac{x^2}{2} dx = \frac{1}{6}$
Quindi rimettendo insieme i pezzi
$\int_0^1 (f(x) - x) dx \le 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$
grazie skipper.... mi hai illuminata.......a presto carmelina
"carmelina":
grazie skipper
??
Forse ti sbagli con i succhi di frutta..
Approfitto per salutare Skipper.
Ciao!
Mi toccherà cambiare avatar... 
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