INTEGRALI!
Ciao a tutti!!
Qualcuno mi spiega perchè quando calcola un integrale lo si scrive nella forma INT f(x)d(x)?
Non capisco il significato del differenziale d(x)..cosa cambia nei calcoli?
Grazie a tutti!
Qualcuno mi spiega perchè quando calcola un integrale lo si scrive nella forma INT f(x)d(x)?
Non capisco il significato del differenziale d(x)..cosa cambia nei calcoli?
Grazie a tutti!
Risposte
Prima di tutto ricordati che l'integrale
"vero" è soltanto quello definito.
$int f(x) dx$ è un simbolo che è stato
introdotto solo a posteriori per denotare una primitiva
della funzione $f$ nell'intervallo in cui è definita.
Si potrebbe dire che $int_a^b f(x) dx$ è semplicemente
un simbolo con il quale si denota l'estremo superiore
delle somme inferiori di una funzione $f$
relative ad un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$,
che è uguale all'estremo inferiore delle somme superiori
di $f$ relative ad $[a,b]$; infatti, solo nel caso
dell'uguaglianza tra i due estremi si può
dire che entrambi gli estremi sono uguali all'integrale di
Riemann di $f$ sull'intervallo $[a,b]$, questo per definizione
di integrale di Riemann. Per esprimere che una funzione, definita
in $[a,b]$ a valori reali, è integrabile secondo Riemann in $[a,b]$ si
scrive $f in ccR(a,b)$, cioè $f$ appartiene all'insieme di tutte
le funzioni Riemann-integrabili su quell'intervallo.
Insomma, per farla breve $int_a^b f(x) dx$ è solo una notazione.
Se ne possono usare altre, ad esempio $int_a^b f$, oppure $int_I f(x) dx$
qualora sia conosciuto l'intervallo chiuso e limitato $I$.
Ragionando invece più da "ingegnere" si può dire che $f(x) dx$ rappresenta
l'area di un rettangolo infinitesimo, avente "base $dx$" e altezza $f(x)$, quindi una "base"
molto molto piccola, talmente piccola che $f$ si può considerare costante su
di essa, e un'altezza $f(x)$. L'area della superficie compresa tra il grafico di $f$, l'asse
$x$ e le rette di equazione $x=a$ e $x=b$ si può vedere come la somma delle aree di
tutti questi infiniti rettangoli, idealmente infinitesimi.
Allora, l'integrale appunto rappresenta quest'area richiesta perché è la somma
di tutte le aree di questi infiniti rettangoli infinitesimi. Questa è l'idea...
"vero" è soltanto quello definito.
$int f(x) dx$ è un simbolo che è stato
introdotto solo a posteriori per denotare una primitiva
della funzione $f$ nell'intervallo in cui è definita.
Si potrebbe dire che $int_a^b f(x) dx$ è semplicemente
un simbolo con il quale si denota l'estremo superiore
delle somme inferiori di una funzione $f$
relative ad un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$,
che è uguale all'estremo inferiore delle somme superiori
di $f$ relative ad $[a,b]$; infatti, solo nel caso
dell'uguaglianza tra i due estremi si può
dire che entrambi gli estremi sono uguali all'integrale di
Riemann di $f$ sull'intervallo $[a,b]$, questo per definizione
di integrale di Riemann. Per esprimere che una funzione, definita
in $[a,b]$ a valori reali, è integrabile secondo Riemann in $[a,b]$ si
scrive $f in ccR(a,b)$, cioè $f$ appartiene all'insieme di tutte
le funzioni Riemann-integrabili su quell'intervallo.
Insomma, per farla breve $int_a^b f(x) dx$ è solo una notazione.
Se ne possono usare altre, ad esempio $int_a^b f$, oppure $int_I f(x) dx$
qualora sia conosciuto l'intervallo chiuso e limitato $I$.
Ragionando invece più da "ingegnere" si può dire che $f(x) dx$ rappresenta
l'area di un rettangolo infinitesimo, avente "base $dx$" e altezza $f(x)$, quindi una "base"
molto molto piccola, talmente piccola che $f$ si può considerare costante su
di essa, e un'altezza $f(x)$. L'area della superficie compresa tra il grafico di $f$, l'asse
$x$ e le rette di equazione $x=a$ e $x=b$ si può vedere come la somma delle aree di
tutti questi infiniti rettangoli, idealmente infinitesimi.
Allora, l'integrale appunto rappresenta quest'area richiesta perché è la somma
di tutte le aree di questi infiniti rettangoli infinitesimi. Questa è l'idea...
Perfetto!!!!!!!
Grazie tanto!!
Grazie tanto!!
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