Integrali

[luxdotnet1]

ho delle difficoltà nel risolvere questi integrali:

1) integrale definito da 0 a 1 di sqrt(4+9x^2) in dx

2) integrale definito da 1 a 2 di 1/x*sqrt(1+ln(x)) in dx

invece in quest'altro:
integrale definito da 0 a 1 di x^3*sqrt(1+x^4) in dx
vorrei fare la sostituzione t=(1+x^4). E' corretto?

[fireball1]

Almeno il 2) e il 3) sono integrali immediati.
Il secondo si fa proprio in un attimo, infatti
hai il caso (f(x))^n * f'(x) il cui integrale
vale ((f(x))^(n + 1))/(n + 1) + C
Riscrivi la funzione come (1/x)*(1 + lnx)^(1/2)
ed ecco che l'integrale e' calcolato.

Per quanto riguarda il terzo integrale,
hai QUASI il caso (f(x))^n * f'(x), perche'
il fattore che moltiplica la radice dovrebbe
essere 4x^3, vale a dire la derivata del
radicando; percio' moltiplica e dividi
la funzione per 4 e poi porta 1/4 fuori
dal segno di integrale in modo da ottenere:
(1/4)*int[4x^3*sqrt(1 + x^4) dx] e anche
questo e' fatto.

Ricordati che l'operazione di integrazione
e' l'inversa dell'operazione di derivazione:
quando devi calcolare un integrale, la prima
cosa che ti consiglio di fare e' di farti
apparire l'integranda come la derivata di una funzione nota.

[Sk_Anonymous]

quote:

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Originally posted by luxdotnet
1) integrale definito da 0 a 1 di sqrt(4+9x^2) in dx

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Poniamo x = 2/3 * sinh(u), onde trarne dx = 2/3 * cosh(u). E allora, siccome 1 + sinh^2(x) = cosh^2(x): int[0...1] sqrt(4+9x^2) dx = int[0...arcsinh(3/2)] 2*cosh^2(u) du = int[0...arcsinh(3/2)] (1+cosh(2u)) du = arcsinh(3/2) + 1/2*sinh(2*arcsinh(3/2)) = arcsinh(3/2) + sinh(arcsinh(3/2))*cos(arcsinh(3/2)) = arcsinh(3/2) + 3/2 * sqrt(1+9/4) = arcsinh(3/2) + 3/4 * sqrt(13). Se poi dovesse servire, mi limito a ricordare che, per ogni x \in R: arcsinh(x) = log(x + sqrt(1 + x^2)). Un po' di conti, per lo più...

Saluti,
Salvatore Tringali

[luxdotnet1]

non ci sono altre vie alternative anziche porre x = 2/3 * sinh(u)?