Integrali

[TheWiz@rd]

non riesco proprio a risolvere questi integrali:

1) int e^(-5x^3)x^5 dx

2) int (3x^2-2x)/(x^2+x+2) dx

3) int (1+sin^2x)^2 dx

4) int (cosx)^4 dx

ma come devo fare per risolvere integrali con rapporto fra polinomi (per esempio il 2)?


TheWiz@rd

[Marco831]

Allora, vedo di spiegarteli a parole perchè non sono pratico nello scrivere formule su questo forum(con gran dispiacere di chi si stà sforzando di esporre lezioni di LaTex che non ho il tempo di seguire...)
1)è sufficiente integrare per parti, considerando int(f'*g) con f'=x^2*e^(-5x^3) e g=x^2.ottieni un termine da valutare (se l'integrale è definito) e un'integrale immediato da calcolare.
2)usa il metodo di decomposizione per denominatori con delta minore di zero (lo trovi su ogni eserciziario).
gli altri.. prossimamente

[TheWiz@rd]

per quanto riguarda l'uno,ho provato a farlo per parti fa si ha il termine x^5 che aumenta di un grado ogni volta.come si risolve?
per il due... non esiste qualche metodo per semplificare un rapporto di polinomi senza seguire alla lettera il metodo solito?


TheWiz@rd

[Marco831]

Allora, per quanto riguarda il secondo integrale, non conosco modi più veloci.
Il primo integrale avresti dovuto provare a risolverlo come ti avevo suggerito...
Visto che nn l'hai fatto ti dimostro che il termine in x^5 non aumenta di grado.
f'=x^2*e^(-5x^3) quindi f=-(1/15)e(-5x^3)
g=x^3 quindi g'=3x^2
integrando per parti:
-(1/15)x^3*e^(-5x^3)+(1/5)int(x^2*e^(-5x^3))=-(1/15)x^3*e^(-5x^3)-(1/5)*(1/15)*e^(-5x^3)+C=
=-(1/15)*e^(-5x^3)*(x^3+1/5)+C

[Marco831]

Il quarto integrale lo risolvi così:
devi prima fare l'operazione (cosx)^4=(1-(sinx)^2)*(cosx)^2=(cosx)^2-(sinx)^2(cosx)^2=
=(cosx)^2-(1/2)*(sin2x)
Adesso integri separatamente i due pezzi, il primo per parti e il secondo direttamente.
Nel terzo integrale, sviluppando il quadrato ottieni:
1+2(sinx)^2+(sinx)^4
A questo punto, integrando a pezzi, 1 lo integri subito, (sinx)^2 lo integri per parti e (sinx)^4
lo integri come hai fatto per (cosx)^4.
In questo modo sicuramente ottieni il risultato, ma per il terzo integrale magari esiste qualche scorciatoia che non ho visto a occhio.