Integrali

[LEOANTO99]

salve a tutti, avrei un problemino su un integrale. ovvero senza calcolare l'integrale devo dimostrare che:
0 < $\int_0^1e^(x^2)dx$ < 3
non riesco a capire che linea di ragionamento devo seguire per arrivare al risultato.

[Obidream]

Forse si può usare il teorema della media integrale insieme a qualche proprietà della funzione sull' intervallo $[0,1]$

[pilloeffe]

Ciao leon99,

"leon99":non riesco a capire che linea di ragionamento devo seguire per arrivare al risultato.

Beh, mi sembra piuttosto semplice, infatti per $x \in [0, 1] $ si ha:

$0 < e^{x^2} <= e $

Integrando fra $0 $ e $1 $...

[LEOANTO99]

"pilloeffe":Ciao leon99,
[quote="leon99"]non riesco a capire che linea di ragionamento devo seguire per arrivare al risultato.

Beh, mi sembra piuttosto semplice, infatti per $ x \in [0, 1] $ si ha:

$ 0 < e^{x^2} <= e $

Integrando fra $ 0 $ e $ 1 $... [/quote]
però facendo così rispetto la consegna dell'esercizio? Perché devo evitare qualsiasi tipo di calcolo dell'integrale

[pilloeffe]

"leon99":però facendo così rispetto la consegna dell'esercizio? Perché devo evitare qualsiasi tipo di calcolo dell'integrale

Beh sì, infatti mica lo calcoli, lo lasci indicato: casomai calcoli i due a fianco che sono molto più semplici...

[Bokonon]

f(0)=1 e f(1)=e
L'area del trapeziode è $1+(e-1)/2$ e sovrastimerà quella reale perchè ha concavità positiva.

P.S. Così facendo puoi persino affermare che l'area è compresa fra 1 e $1+(e-1)/2$

[fanzhendong72]

Dato il tipo di intervallo (abbastanza piccolo), potresti calcolare lo sviluppo di taylor di $e^(x^2)$ e poi integrare lo sviluppo tra 0 e 1

[gugo82]

"Bokonon":L'area del trapeziode è $1+(e-1)/2$ e sovrastimerà quella reale perchè ha concavità positiva.

P.S. Così facendo puoi persino affermare che l'area è compresa fra 1 e $1+(e-1)/2$

Graficamente:
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red"; plot("exp(x^2)",0,1);
stroke="blue"; line([0,1],[1,1]);
stroke="dodgerblue"; line([0,1],[1,Math.E]);[/asvg]
L'integrale della funzione $f(x):=e^{x^2}$ (grafico in rosso) è minore di quello della funzione $g(x):=1$ (grafico in blu) e maggiore di quello della funzione $h(x):=1+(e-1) x$ (grafico in azzurro).
Questi ultimi due integrali non si devono nemmeno calcolare con contazzi complicati: infatti, coincidono con l'area di figure geometriche semplici.

Si può osservare che la minorazione non è ottimale... Potresti migliorarla prendendo al posto di $g$ la funzione $gamma (x):=1+x^2$ (grafico in arancione):
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red"; plot("exp(x^2)",0,1);
stroke="dodgerblue"; line([0,1],[1,Math.E]);
stroke="orange"; plot("1+x^2",0,1);[/asvg]
il cui integrale va però calcolato (ci vogliono 10" netti).

[Bokonon]

[ot]@gugo
Che precisione!
Non se ti vorrei come mio prof...ne sarei intimorito [/ot]

[pilloeffe]

@gugo82:
Ehm... In realtà c'è uno scambio di colori, perché chiaramente $g(x) $ è la funzione col grafico in azzurro, mentre $h(x) $ è quella col grafico in blu: poi naturalmente questo non inficia la logica del ragionamento che non fa una grinza...