Integrali

[VALE014]

Buonasera sto impazzendo con questo integrale, non riesco a svolgere. Grazie per chi mi aiuta
(non so come si Indica l'integrale) $ (x^4)/(x^4-1) $
Ho scomposto il denominatore ma non ho risolto nulla.
Grazie in anticipo

[anto_zoolander]

step 1 -$x^4/(x^4-1)=1+1/(x^4-1)=1+1/((x-1)(x+1)(x^2+1)) => [...]$

step 2 - $[...] => x+1/4 ln|(x-1)/(x+1)|-1/2arctan(x)+c$

fill the blank!

[VALE014]

Ok quindi fai la divisione tra polinomi? Pensavo che non si potesse fare visto che numeratore è denominatore erano dello stesso grado grazie mille non capisco da dove vengono 1/2 e 1/4)

[pilloeffe]

Ciao VALE0,

"VALE0":quindi fai la divisione tra polinomi?

A parte il primo passaggio, non si tratta di una divisione fra polinomi, ma di una scomposizione in fratti semplici:

$ x^4/(x^4-1)=(x^4 - 1 + 1)/(x^4-1) = 1+1/(x^4-1) = 1+1/((x-1)(x+1)(x^2+1)) = $
$ = 1 + frac{1/4}{x - 1} - frac{1/4}{x + 1} - frac{1/2}{x^2 + 1} $

[VALE014]

Sisi non capisco solo 1/4 e 1/2, il resto é tutto chiaro

[anto_zoolander]

Se sai utilizzare i frati semplici, quei coefficienti ne sono una conseguenza.

[pilloeffe]

"anto_zoolander":Se sai utilizzare i frati semplici

Tipo fra' Simplicio, fra' Banalio, fra' Trivialio...

@VALE0:
Scherzi a parte, ha ragione anto_zoolander:

$1/((x-1)(x+1)(x^2+1)) = frac{A}{x - 1} + frac{B}{x + 1} + frac{Cx + D}{x^2 + 1} = $
$ = frac{A(x + 1)(x^2+1) + B(x - 1)(x^2+1) + (Cx + D)(x^2 - 1)}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} = $
$ = frac{A(x^3 + x^2 + x + 1) + B(x^3 - x^2 + x - 1) + Cx^3 + Dx^2 - Cx - D}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} = $
$ = frac{(A + B + C)x^3 + (A - B + D)x^2 + (A + B - C)x + A - B - D}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} $

Per il principio di identità dei polinomi deve essere:

$\{(A + B + C = 0),(A - B + D = 0),(A + B - C = 0),(A - B - D = 1) :}$

Sommando la prima e la terza equazione si vede subito che $B = - A $, mentre sommando la seconda e l'ultima si trova $2A - 2B = 1 $ per cui, ricordando che $B = - A $, si trova $A = 1/4 \implies B = - 1/4 \implies C = 0 \implies D = - 1/2 $

[VALE014]

Grazie mille ora tutto chiaro :l buon domenica