Integrale2
Rieccomi con un altro integrale
$int [log^2 (2x+1)]/x dx$
Grazie in anticipo
$int [log^2 (2x+1)]/x dx$
Grazie in anticipo
Risposte
Mah... Neanche questo si riesce a calcolare...
Non so proprio come comportarmi. In qest ultimi compiti di analisi 1 la mia docente sta dando integrali di questo genere che non riesco a risolvere. Mi sa chesarò bocciato !!!! 
E' vero, sono tutti uguali, con la x al denominatore
e funzioni logaritmiche (o quadrati di funzioni
logaritmiche) di questo tipo al numeratore, e sono tutti irrisolvibili...
e funzioni logaritmiche (o quadrati di funzioni
logaritmiche) di questo tipo al numeratore, e sono tutti irrisolvibili...
Allora, devo dire che ho letto il problema e stavo per rinunciarci... però ho avuto un'illuminazione e ho consultato il mitico Dwight ("Tables of Integrals and other Mathematica Data") e ho trovato dopo una breve ricerca:
$int [log(a+bx)]/x dx = log(a)log(x)+bx/a-(b^2x^2)/(2^2a^2)+(b^3x^3)/(3^2a^3)-(b^4x^4)/(4^2a^4)+... $ se $[b^2x^2
$int [log(a+bx)]/x dx = log(bx)^2-a/bx+a^2/(2^2b^2x^2)-a^3/(3^2b^3x^3)+a^4/(4^2b^4x^4)-... $se $ [b^2x^2>a^2]$
Non so... deve essere una risoluzione per serie. Si noti poi che ciò risolve solo in parte il problema proposto perchè l'integrale postato è una funzione logaritmica al quadrato, mentre qui ha esponente 1. Però penso che attraverso una preventiva integrazione per parti o per sostituzione la si possa ricondurre al caso citato. Spero di non aver confuso le idee...Sono curioso di sapere come si fa....Fatemi sapere....
Pol
$int [log(a+bx)]/x dx = log(a)log(x)+bx/a-(b^2x^2)/(2^2a^2)+(b^3x^3)/(3^2a^3)-(b^4x^4)/(4^2a^4)+... $ se $[b^2x^2
$int [log(a+bx)]/x dx = log(bx)^2-a/bx+a^2/(2^2b^2x^2)-a^3/(3^2b^3x^3)+a^4/(4^2b^4x^4)-... $se $ [b^2x^2>a^2]$
Non so... deve essere una risoluzione per serie. Si noti poi che ciò risolve solo in parte il problema proposto perchè l'integrale postato è una funzione logaritmica al quadrato, mentre qui ha esponente 1. Però penso che attraverso una preventiva integrazione per parti o per sostituzione la si possa ricondurre al caso citato. Spero di non aver confuso le idee...Sono curioso di sapere come si fa....Fatemi sapere....
Pol
Finalmente una via d'uscita!Pensvo che ormai fosse giunta la mia ora...Dmattina a mente fresca metterò in pratica la formula che mi hai fornito e ti farò sapere.Grazie 1000, o meglio grazie x per x che tende allìinfinito
Lo sviluppo in serie del logaritmo è noto,infatti:
$log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-........$
Nel nostro caso,al posto di $x$ abbiamo $2x$ allora:$ln(1+2x)=2x-(4x^2)/2+(8x^3)/3-......$
in secondo luogo dobbiamo elevare al quadrato,allora:$(ln^2(1+2x))=4x^2+4x^4+64/9x^6+.....$
dividiamo per $x$: $ln^2(1+2x)/x=4x+4x^3+64/9x^5+.....$
Allora $int(ln^2(1+2x))/xdx=int4xdx+int4x^3dx+int64/9x^5dx+...=2x^2+x^4+32/27x^6+....$.
Il trucco sta nel sapersi ricondurre a sviluppi noti:
Se avessi avuto $log(4+2x^2)$?
avresti potuto scrivere $log(4+2x^2)=log(1+(3+2x^2))$ e ricondurti allo sviluppo notevole,ecc...
$log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-........$
Nel nostro caso,al posto di $x$ abbiamo $2x$ allora:$ln(1+2x)=2x-(4x^2)/2+(8x^3)/3-......$
in secondo luogo dobbiamo elevare al quadrato,allora:$(ln^2(1+2x))=4x^2+4x^4+64/9x^6+.....$
dividiamo per $x$: $ln^2(1+2x)/x=4x+4x^3+64/9x^5+.....$
Allora $int(ln^2(1+2x))/xdx=int4xdx+int4x^3dx+int64/9x^5dx+...=2x^2+x^4+32/27x^6+....$.
Il trucco sta nel sapersi ricondurre a sviluppi noti:
Se avessi avuto $log(4+2x^2)$?
avresti potuto scrivere $log(4+2x^2)=log(1+(3+2x^2))$ e ricondurti allo sviluppo notevole,ecc...
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