Integrale xy

[l0r3nzo1]

ciao a tutti.

Devo risolvere questo integrale doppio:

$ int_(0)^(1) int_(1)^(2) \ y/(1+xy) \ dx dy $

Inizio col calcolare l'integrale:

$int_(1)^(2) \ y/(1+xy) \ dy $ la cui soluzione, verificata, è :

$((xy-ln|xy+1|)/x^2)$ . a questo punto non mi rimane che calcolare l'integrale definito nei punti 2 e 1.

La soluzione che viene fuori a me è la seguente: $(x-ln|2x+1|+ln|x+1|)/x^2$ mentre la soluzione dovrebbe essere: $(x-ln|x+1|)/x^2$

Mi potete dire dove sbaglio?

grazie.

[Lorin1]

Quando sostituisci 2 nella soluzione non dovrebbe essere $log|2x+1|/4$?

[l0r3nzo1]

"Lorin":Quando sostituisci 2 nella soluzione non dovrebbe essere $log|2x+1|/4$?

no perché vado a sostituire la y non la x.

[Lorin1]

Pardon!
Comunque nella tua soluzione $x^2$ al denominatore è scomparsa lo stesso...

[l0r3nzo1]

edito subito. l'avevo messo me lo son dimenticato qua.

[itpareid]

"l0r3nzo":ciao a tutti.

Devo risolvere questo integrale doppio:

$ int_(0)^(1) int_(1)^(2) \ y/(1+xy) \ dx dy $

Inizio col calcolare l'integrale:

$int_(1)^(2) \ y/(1+xy) \ dy $ la cui soluzione, verificata, è :

$(xy-ln|xy+1|/x^2)$ .

secondo me è meglio se risolvi $int_(1)^(2) \ y/(1+xy) \ dx $ o, in alternativa, quello calcolato da te lo calcoli tra $0$ e $1$ in quanto
$ int_(0)^(1) (int_(1)^(2) \ y/(1+xy) \ dx) dy = int_(1)^(2) (int_(0)^(1) \ y/(1+xy) \ dy) dx $

[l0r3nzo1]

grazie!!! ti giuro che non ci stavo capendo più nulla a causa di questo integrale che non mi tornava!!! con la seconda ipotesi, ovvero calcolarlo tra 0 e 1 torna perfettamente. grazie davvero.

[itpareid]

prego!

[ciampax]

[tex]$\int\frac{y}{1+xy}\ dy=\frac{1}{x}\int\frac{xy+1-1}{1+xy}\ dy=\frac{1}{x}\left[\int dy-\int\frac{dy}{1+xy}\right]=
\frac{1}{x}\left[y-\frac{1}{x}\log|1+xy|\right]$[/tex]

e quindi l'integrale, che tu dici di aver verificato, in realtà vale

[tex]$\frac{y}{x}-\frac{\log|1+xy|}{x^2}$[/tex]

[l0r3nzo1]

c'era un errore nella trascrizione del forum. la soluzione che ti è venuta è la stessa che è venuta a me.