Integrale utilizzando il Teorema dei residui

[alle.fabbri]

Ciao a tutti. Ho un problema con un integrale che vorrei risolvere con il teorema dei residui ma non riesco. Si tratta di
[tex]$\int_{\mathbb{R}} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx$[/tex]
ho provato in diversi modi e mi viene sempre zero...

Primo modo (modo grezzo) sposto il polo. Quindi ho che (ometto gli estremi)
[tex]$\lim_{\epsilon\rightarrow0} \int_{\mathbb{R}} \frac{\sin^2 x }{x^2 + \epsilon^2} dx$[/tex]
quindi passo ai complessi su una semicirconferenza chiusa nel semipiano immaginario positivo e dunque
[tex]$\int_{\mathbb{R}} \frac{\sin^2 x }{x^2 + \epsilon^2} dx = 2 \pi i \text{Res}[i \epsilon] = 2 \pi i \frac{\sin^2(i \epsilon)}{2i \epsilon} \rightarrow 0$[/tex]

Poi ho provato a sviluppare in serie di Laurent ma anche così essendoci in zero una singolarità eliminabile non mi viene nessun termine [tex]x^{-1}[/tex].....

Qualcuno mi può aiutare?

[rbtqwt]

Potresti usare l'identità [tex]\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2} = \mbox{Re} \frac{1-e^{2ix}}{2}[/tex], in modo che
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}[/tex] = [tex]\mbox{Re} ( \pi i \cdot \mbox{Rez}_{z=0} \frac{1-e^{2iz}}{2z^2})= \pi[/tex].
Ho usato un cammino d'integrazione come questo:
[asvg]axes();
stroke="red";
line([1,0],[3,0]);
line([-1,0],[-3,0]);
arc([1,0], [-1,0], 1);
arc([3,0], [-3,0], 3);[/asvg]
orientato in senso antiorario.

[baldo891]

Questo esercizio lo trovi risolto sul De Marco (il libro di teoria