Integrale unidimensionale
$\int\int_D 1/(x^5(1+y)) dxdy $ con $D=(x>1, 0
allora per prima cosa scrivo integrale nella sua vera forma
$\int_(1)^(infty)[\int_(0)^(1/x^4) 1/(x^5(1+y)) dy]dx$
poi svolgo integrale interno e porto fuore la x e alla fine integrale è il suo logaritmo e lo pongo nei sui estremi arrivando poi
$\int_(1)^(infty)(ln(1+1/x^4))/x^5 dx $
da qui non riesco a risolvere questo integrale ne per parti ne per sostituzione pi avanti vado nei calcoli e piu si complicano a posta di semplificarsi help me
allora per prima cosa scrivo integrale nella sua vera forma
$\int_(1)^(infty)[\int_(0)^(1/x^4) 1/(x^5(1+y)) dy]dx$
poi svolgo integrale interno e porto fuore la x e alla fine integrale è il suo logaritmo e lo pongo nei sui estremi arrivando poi
$\int_(1)^(infty)(ln(1+1/x^4))/x^5 dx $
da qui non riesco a risolvere questo integrale ne per parti ne per sostituzione pi avanti vado nei calcoli e piu si complicano a posta di semplificarsi help me
Risposte
Se poni $1+ 1/x^4=t$ osservi che $-4/x^5\ dx=dt$ e che $x=1\to t=2, x=\infty\to t=1$ da cui
$$\int_1^\infty\ln\left(1+\frac{1}{x^4}\right)\cdot\frac{dx}{x^5}=-\frac{1}{4}\int_2^1\ln t\ dt=\frac{1}{4}\int_1^2\ln t\ dt=\\ \frac{1}{4}\left\{\left[t\ln t\right]_1^2-\int_1^2\ dt\right\}=\frac{1}{4}\left[2\ln 2-1\right]$$
$$\int_1^\infty\ln\left(1+\frac{1}{x^4}\right)\cdot\frac{dx}{x^5}=-\frac{1}{4}\int_2^1\ln t\ dt=\frac{1}{4}\int_1^2\ln t\ dt=\\ \frac{1}{4}\left\{\left[t\ln t\right]_1^2-\int_1^2\ dt\right\}=\frac{1}{4}\left[2\ln 2-1\right]$$
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