Integrale un po' difficile

[Manugal]

Ciao a tutti!

Oggi all'esame mi è capitato questo integrale che, a mio avviso, è particolarmente difficile. Mi chiedeva innanzitutto se era convergente e se lo era bisognava calcolarlo. E' il seguente:

$\int_{2//\pi}^{infty} (1/x^3)*sen(1/x)dx$

Allora studiando la convergenza ho visto che questo integrale ha problemi all'infinito e quindi facendo il $lim_{x->infty}(1/x^3)*sen(1/x)*x^\alpha = lim_{x->infty} (1/x^3)*(1/x)*x^\alpha = lim_{x->infty} (1/x^(4-\alpha))$. Questo integrale viene finito e diverso da zero per $\alpha=4>1 =>$ l'integrale improprio esiste finito. E' sbagliato?

Se non fosse sbagliato come lo faccio questo integrale? Grazie.

[@melia]

ponendo $1/x=t$, ricordati di sostituire anche gli estremi di integrazione

[Manugal]

Ok ma ponendo $1/x=t$ verrà che $(-1/x^2)dx=dt$ quindi io avrei sostituito $1/x^3$ con $t^3$ e $sen(1/x)$ con $sent$. Ma dx come lo sostituisco?

[Manugal]

Ok ma ponendo $1/x=t$ verrà che $(-1/x^2)dx=dt$ quindi io avrei sostituito $1/x^3$ con $t^3$ e $sen(1/x)$ con $sent$. Ma dx come lo sostituisco?

[Manugal]

Ok ma ponendo $1/x=t$ verrà che $(-1/x^2)dx=dt$ quindi io avrei sostituito $1/x^3$ con $t^3$ e $sen(1/x)$ con $sent$. Ma dx come lo sostituisco?

[alvinlee881]

"Manugal":

$\int_{2//\pi}^{infty} (1/x^3)*sen(1/x)dx$
..come lo faccio questo integrale?

Calcoliamo una primitiva.
Pongo $1/x=t$, cioè $x=1/t$, da cui $dx=-dt/t^2$. Andando a sostituire, ottieni:
$\int (1/x^3)*sen(1/x)dx=\int -(t^3)*sent*(dt)/t^2=\int -t*sentdt$.
Procedendo per parti, con $f(x)=t$ (e quindi $f'(x)=1$) e $g'(x)=-sint$ (e $g(x)=cost$), otteniamo
$\int -t*sen(1/x)dt=tcost-\int costdt=tcost-sint$. Gli estremi di integrazione adesso sono $1/(2/pi)=pi/2$ e $1/pi=0$, per cui devi calcolare
$0*cos(0) -sin0 -(cos(pi/2)/(pi/2)-sin(pi/2))=sin(pi/2)=1$.
Ciao

[Steven11]

Qualche svista, data la tarda ora
Qua

$\int -t*sen(1/x)dt

hai riscritto $1/x$
e qua

$1/pi=0$

mi sa che hai scambiato un $pi$ con un $+infty$

$f(x)=t$ (e quindi $f'(x)=1$) e $g'(x)=-sint$ (e $g(x)=cost$)

$f(t)$ e $g(t)$, non "di $x$"

$ (cos(pi/2)/(pi/2)

Perché $pi/2$ sta al denominatore?

In ogni caso, il risultato è giusto

[alvinlee881]

Grazie Steven, mi si chiudevano gli occhi ieri sera, ma mi avevano innervosito quei 6 post uguali di fila, mi è sembrato che il tipo ci tenesse. Comunque credo che se ne sarebbe comunque accorto delle distrazioni: ovviamente $1/pi!=0$! Per il cambio di $x$ e $t$, beh, non avrebbe avuto difficoltà a ricostruire una risoluzione "presentabile"
ciao

[Manugal]

Grazie mille per la risposta. Il fatto delle 6 risposte di fila non è dipeso da me ma dal vostro server che quel giorno faceva le bizze (dava sempre errore 500 ogni volta che facevo invia risposta) e quindi ecco svelato l'arcano. Grazie.