Integrale triplo..dubbi su impostazione
Ciao a tutti, da ieri mi sono ritrovato quest'integrale triplo, ma ho alcuni dubbi sull'impostazione. Aiutatemi per favore.
Calcolare $ \int_(A) x+y^2+z^3 dxdydz $
ove $ A=\{(x,y,z)^(T)\in RR^3| x^2+y^2+z^2\leq 2, x^2+y^2\geq1\} $
allora ho provato a impostare l'integrale in coordinate sferiche $ { ( x=\rho\sin\phi \cos\theta ),( y=\rho \sin\phi\sin\theta ),( z=\rho \cos\phi ):} $
$ |det Jac|=\rho^2\sin\phi $
siccome non ho vincoli sugli angoli, dico subito che $ \theta\in [0,2\pi], \phi\in [0,\pi] $
successivamente noto subito che $ \rho\leq \sqrt(2) $ ..
ora trovo l'altro estremo
$ \rho^2\sin^2\phi \cos^2\theta+\rho^2\sin^2\phi \sin^2\theta\geq 1 \to \rho^2\sin^2\phi\geq 1\to \rho \geq (1)/(\sin\phi) $
quindi in definitiva ho che $ \theta\in [0,2\pi], \phi\in [0,\pi], \rho \in [(1)/(\sin\phi), \sqrt(2)] $
eh però la funzione integranda è bruttissima..
$ int int int [\rho\sin\phi\cos\theta+\rho^2\sin^2\phi\sin^2\theta+\rho^3\cos^3\phi]\rho^2\sin\phi \cdotd\rho d\theta d\phi $
Non posso nemmeno raccogliere i $\rho$
Non c'è un modo un po' più veloce?.. Qualche suggerimento magari..
Calcolare $ \int_(A) x+y^2+z^3 dxdydz $
ove $ A=\{(x,y,z)^(T)\in RR^3| x^2+y^2+z^2\leq 2, x^2+y^2\geq1\} $
allora ho provato a impostare l'integrale in coordinate sferiche $ { ( x=\rho\sin\phi \cos\theta ),( y=\rho \sin\phi\sin\theta ),( z=\rho \cos\phi ):} $
$ |det Jac|=\rho^2\sin\phi $
siccome non ho vincoli sugli angoli, dico subito che $ \theta\in [0,2\pi], \phi\in [0,\pi] $
successivamente noto subito che $ \rho\leq \sqrt(2) $ ..
ora trovo l'altro estremo
$ \rho^2\sin^2\phi \cos^2\theta+\rho^2\sin^2\phi \sin^2\theta\geq 1 \to \rho^2\sin^2\phi\geq 1\to \rho \geq (1)/(\sin\phi) $
quindi in definitiva ho che $ \theta\in [0,2\pi], \phi\in [0,\pi], \rho \in [(1)/(\sin\phi), \sqrt(2)] $
eh però la funzione integranda è bruttissima..
$ int int int [\rho\sin\phi\cos\theta+\rho^2\sin^2\phi\sin^2\theta+\rho^3\cos^3\phi]\rho^2\sin\phi \cdotd\rho d\theta d\phi $
Non posso nemmeno raccogliere i $\rho$
Non c'è un modo un po' più veloce?.. Qualche suggerimento magari..
Risposte
Io avrei usato le coordinate cilindriche: in tal modo le equazioni che definiscono il dominio risultano
$$\rho^2+z^2\le 2,\qquad \rho\ge 1$$
(la seconda già "semplificata"). Ovviamente deve essere $\theta\in[0,2\pi]$ mentre per le altre due direi che è abbastanza immediato verificare che
$$1\le\rho\le\sqrt{2},\qquad -\sqrt{2-\rho^2}\le z\le\sqrt{2-\rho^2}$$
Infine la funzione integranda diventa
$$(\rho\cos\theta+\rho^2\sin^2\theta+z^3)\rho$$
Vista l'indipendenza dalla variabile $\theta$, quando integri $\rho^2\cos\theta$ (il primo addendo) tra $0$ e $2\pi$viene zero, e anche l'integrale degli altridue risulta molto veloce e ti porta a calcolare questo:
$$\int_1^{\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{2-\rho^2}}^{\sqrt{2-\rho^2}} (\pi\rho^3+2\pi \rho z^3)\ dz\ d\rho$$
che mi sembra abbastanza veloce da integrare.
$$\rho^2+z^2\le 2,\qquad \rho\ge 1$$
(la seconda già "semplificata"). Ovviamente deve essere $\theta\in[0,2\pi]$ mentre per le altre due direi che è abbastanza immediato verificare che
$$1\le\rho\le\sqrt{2},\qquad -\sqrt{2-\rho^2}\le z\le\sqrt{2-\rho^2}$$
Infine la funzione integranda diventa
$$(\rho\cos\theta+\rho^2\sin^2\theta+z^3)\rho$$
Vista l'indipendenza dalla variabile $\theta$, quando integri $\rho^2\cos\theta$ (il primo addendo) tra $0$ e $2\pi$viene zero, e anche l'integrale degli altridue risulta molto veloce e ti porta a calcolare questo:
$$\int_1^{\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{2-\rho^2}}^{\sqrt{2-\rho^2}} (\pi\rho^3+2\pi \rho z^3)\ dz\ d\rho$$
che mi sembra abbastanza veloce da integrare.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo