Integrale triplo(calcolo flusso uscente da superfice)
Volevo chiedervi aiuto nella risoluzione di un esercizio su cui ho alcuni dubbi su come risolverlo.
La traccia dice:
sia Da il dominio del piano xz definito dalle limitazioni : $ 0<=x<=1, x^2<=z<=2-x^2$; sia poi T il solito ottenuto facendo ruotare di un angolo retto in verso antiorario il dominio D intorno all'asse z- Calcolare il flusso uscenda da $ del T $ del campo vettoriale V=zsqrt(1+x^2+y^2)(k) (con K versore del campo vettoriale).
Risolvendo l'esercizio e quindi applicando il teorema della divergenza, mi viene l'integrale $ int int int_(T)^()sqrt(1+x^2+y^2) dx dy dz $ , il mio problema è estrapolare dal solido il dominio in R^3 per risolvere l'esercizio.
Spero che qualcuno mi puoi aiutare.
La traccia dice:
sia Da il dominio del piano xz definito dalle limitazioni : $ 0<=x<=1, x^2<=z<=2-x^2$; sia poi T il solito ottenuto facendo ruotare di un angolo retto in verso antiorario il dominio D intorno all'asse z- Calcolare il flusso uscenda da $ del T $ del campo vettoriale V=zsqrt(1+x^2+y^2)(k) (con K versore del campo vettoriale).
Risolvendo l'esercizio e quindi applicando il teorema della divergenza, mi viene l'integrale $ int int int_(T)^()sqrt(1+x^2+y^2) dx dy dz $ , il mio problema è estrapolare dal solido il dominio in R^3 per risolvere l'esercizio.
Spero che qualcuno mi puoi aiutare.
Risposte
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Passa a coordinate cilindriche con piano polare [tex]$Oxy$[/tex] ed asse [tex]$z$[/tex].
dici di passare in cordinate cilindriche l'integrale che ho trovato applicando il teorema della divergenza, giusto??
Sinceramente non capisco come considerare il solido ottenuto dalla rotazione del dominio normale con il cambiamento delle cordinate.
Butto ora come farei io questo cambiamento, sperando che sia giusto:
$ int int int_(phi(T))^()sqrt(1+rho^2)rho dx dy dz $ con $ T:[0,1/costheta] $ x $ [0,pi/2] $ x $ [0,2] $
ora non so' se è giusto, non mi convince la prima limitazione di T, ma se devo fare il cambiamento in cordinate cilindriche, io lo interpreto così.
Ora ho fatto bene o ho sbagliato di grande?!?
Sinceramente non capisco come considerare il solido ottenuto dalla rotazione del dominio normale con il cambiamento delle cordinate.
Butto ora come farei io questo cambiamento, sperando che sia giusto:
$ int int int_(phi(T))^()sqrt(1+rho^2)rho dx dy dz $ con $ T:[0,1/costheta] $ x $ [0,pi/2] $ x $ [0,2] $
ora non so' se è giusto, non mi convince la prima limitazione di T, ma se devo fare il cambiamento in cordinate cilindriche, io lo interpreto così.
Ora ho fatto bene o ho sbagliato di grande?!?
Ma l'hai fatto un disegno?
Il dominio che stai facendo ruotare è una cosa del genere:
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; plot("x^2",0,1); plot("2-x^2",0,1); line([0,0],[0,2]);[/asvg]
Il dominio che stai facendo ruotare è una cosa del genere:
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; plot("x^2",0,1); plot("2-x^2",0,1); line([0,0],[0,2]);[/asvg]
il disegno l'avevo fatto, però non capisco dove vuoi arrivare, i'm sorry.
Dal disegno è evidente che il tuo dominio in coordinate cilindriche [tex]$(\rho, \theta ,h )$[/tex] è definito dalle limitazioni:
[tex]$0\leq \rho \leq 1,\ 0\leq \theta \leq \tfrac{\pi}{2},\ \rho^2\leq h\leq 2-\rho^2$[/tex].
[tex]$0\leq \rho \leq 1,\ 0\leq \theta \leq \tfrac{\pi}{2},\ \rho^2\leq h\leq 2-\rho^2$[/tex].
avevo capito bene cosa volevi dire allora, ma ho sbagliato i calcoli nel cambiamento di coordinate 
grazie mille delle correzioni, ma una cosa...la limitazione di h non è $0<=h<=2$ mi sembra di trovarmi così sia con i calcoli che con il grafico.
grazie mille delle correzioni, ma una cosa...la limitazione di h non è $0<=h<=2$ mi sembra di trovarmi così sia con i calcoli che con il grafico.
Guarda bene il disegno ricordando che le coordinate cilindriche sono definite da:
[tex]$\begin{cases} x=\rho\ \cos \theta \\ y=\rho\ \sin \theta \\ z=h\end{cases}$[/tex].
[tex]$\begin{cases} x=\rho\ \cos \theta \\ y=\rho\ \sin \theta \\ z=h\end{cases}$[/tex].
dato che il dominio è rappresentato da $ 0<=x<=1$ e $ x^2<=z<=2-x^2$ sostituendo mi trovo $0<=rhocostheta<=1$ e $rho^2cos^2theta<=h<=2-rho^2cos^2theta$,
ora io mi troverei anche con te, ma non capisco come nella prima limitazione ti venga $0<=rho<=1$.
scusa se ti rompo per queste cose futili ma vorrei capire bene.
ora io mi troverei anche con te, ma non capisco come nella prima limitazione ti venga $0<=rho<=1$.
scusa se ti rompo per queste cose futili ma vorrei capire bene.
Scusa, immagina di sezionare il tuo solido [tex]$T$[/tex] con un semipiano [tex]$\Pi(\theta)$[/tex] contenente l'asse [tex]$z$[/tex] (ovviamente [tex]$\theta \in [0,\tfrac{\pi}{2}]$[/tex], altrimenti non c'è intersezione): fatto ciò, la sezione di [tex]$T$[/tex] su [tex]$\Pi (\theta)$[/tex] è esattamente la figura piana che ti ho disegnato prima e che coincide con [tex]$D$[/tex].
Se introduci un riferimento cartesiano sul semipiano [tex]$\Pi (\theta)$[/tex] chiamando [tex]$h$[/tex] l'asse verticale (quello che in 3D è [tex]$z$[/tex]) e [tex]$\rho$[/tex] (che coincide con la semiretta intersezione di [tex]$\Pi (\theta)$[/tex] con il piano [tex]$Oxy$[/tex]) quello orizzontale, capisci subito quali sono le limitazioni giuste.
Se introduci un riferimento cartesiano sul semipiano [tex]$\Pi (\theta)$[/tex] chiamando [tex]$h$[/tex] l'asse verticale (quello che in 3D è [tex]$z$[/tex]) e [tex]$\rho$[/tex] (che coincide con la semiretta intersezione di [tex]$\Pi (\theta)$[/tex] con il piano [tex]$Oxy$[/tex]) quello orizzontale, capisci subito quali sono le limitazioni giuste.
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