Integrale triplo/ teorema della divergenza
Salve a tutti, scusatemi se sono ripetitivo ma vorrei riproporre il calcolo del volume di una superficie mediante il teorema della divergenza e quindi con un integrale triplo. La traccia é questa: Sia $ ∂V $ il bordo del volume
$ V = {(x, y, z) ∈ R³: z²= (x - 1)² + y², 0 ≤ z ≤ 2} $
ed F il campo vettoriale $
F = (x - 1 , y , 0) $. L'operatore divergenza é uguale a $ 2 $. Anche in questo caso mi viene da dire che il raggio orizzontale varia al variare della quota, giusto? Ad ogni modo credo di sbagliare proprio gli estremi di integrazione, qualcuno potrebbe indicai quali sono gli estremi corretti? Grazie a tutti per la disponibilità.
$ V = {(x, y, z) ∈ R³: z²= (x - 1)² + y², 0 ≤ z ≤ 2} $
ed F il campo vettoriale $
F = (x - 1 , y , 0) $. L'operatore divergenza é uguale a $ 2 $. Anche in questo caso mi viene da dire che il raggio orizzontale varia al variare della quota, giusto? Ad ogni modo credo di sbagliare proprio gli estremi di integrazione, qualcuno potrebbe indicai quali sono gli estremi corretti? Grazie a tutti per la disponibilità.
Risposte
Intanto, per scrivere gli esponenti è meglio usare il cappello: x^2, y^2, che diventano $x^2, y^2$, è più facile da scrivere e più bello da leggere.
Poi ti conviene subito cambiare coordinate. Definisci $x'=x-1$. Adesso il problema è sul dominio \(V'=\{z^2=(x')^2+y^2\}\) e il campo vettoriale è \((x', y, 0)\). Dovrebbe essere più facile ora.
Poi ti conviene subito cambiare coordinate. Definisci $x'=x-1$. Adesso il problema è sul dominio \(V'=\{z^2=(x')^2+y^2\}\) e il campo vettoriale è \((x', y, 0)\). Dovrebbe essere più facile ora.
Ciao Manox,
Adesso non ho molto tempo, ma il tuo problema mi pare analogo a quello di questo thread: nel caso in esame c'è da considerare il contributo al flusso del "tappo" superiore, che è il cerchio che si ottiene per $z=2$
Adesso non ho molto tempo, ma il tuo problema mi pare analogo a quello di questo thread: nel caso in esame c'è da considerare il contributo al flusso del "tappo" superiore, che è il cerchio che si ottiene per $z=2$
Ti ringrazio del thread a cui mi hai mandato, mi é stato utile, ma anche considerando il cerchio sul piano $ z=2 $ non arrivo al risultato corretto. Forse sbaglio gli estremi di integrazione:
$ 0≤\theta≤2π $
$ 0≤z≤2 $
$\rho=z $ quindi $ 0≤\rho≤2 $, sbaglio nel far variare $ \rho $ forse?
$ 0≤\theta≤2π $
$ 0≤z≤2 $
$\rho=z $ quindi $ 0≤\rho≤2 $, sbaglio nel far variare $ \rho $ forse?
"Manox":
[...] ma anche considerando il cerchio sul piano $z=2$ non arrivo al risultato corretto.
Qual è il risultato corretto? Visto che lo conosci, perché non lo riporti?
"Manox":
Forse sbaglio gli estremi di integrazione
Non è facile capire cosa sbagli se non riporti i calcoli che hai fatto. Immagino tu abbia fatto uso della trasformazione in coordinate cilindriche seguente:
$\{(x = 1 + \rho cos\theta),(y = \rho sin\theta),(z = z):}$
Ti sei ricordato dello jacobiano della trasformazione $\rho $?
Il risultato corretto é $ 16/3 π $, si mi sono ricordato dello jacobiano e non ho scritto i calcoli solo perché non sono in grado di scriverlo correttamente ( non so fare il simbolo dell'integrale).
Comunque si, ho cambiato variabili in $ x=1+\rhocosø, y=\rhosinø, z=\rho $.
Comunque si, ho cambiato variabili in $ x=1+\rhocosø, y=\rhosinø, z=\rho $.
Il simbolo dell'integrale è \int
Mi sembra che tu faccia copia-incolla da Word o da altro software simile. Non ti conviene, meglio scrivere direttamente in TeX, ad esempio la lettera \(\theta\) si scrive \theta.
Mi sembra che tu faccia copia-incolla da Word o da altro software simile. Non ti conviene, meglio scrivere direttamente in TeX, ad esempio la lettera \(\theta\) si scrive \theta.
Comunque non è difficile ed in effetti adesso che ho riletto con maggiore attenzione i tuoi post hai sbagliato gli estremi di integrazione, errore peraltro indotto dal fatto che $V$ è scritto male ed in realtà è il seguente:
$V = {(x, y, z) \in \RR^3: z^2 \ge (x - 1)^2 + y^2, 0 \le z \le 2} $
Il teorema della divergenza asserisce che
$ \int \int_{del V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\text{d}V = \int\int\int_{V} \text{div}\mathbf{F}(x, y, z) \text{d}v $
ove nel caso in esame $\mathbf{F} (x, y, z) = (F_1(x, y, z), F_2(x, y, z), F_3(x, y, z)) = (x - 1, y, 0) $ e
$\text{div}\mathbf{F}(x, y, z) = (del F_1)/(del x) + (del F_2)/(del y) + (del F_3)/(del z) = 1 + 1 + 0 = 2 $
Pertanto l'integrale da risolvere è il seguente:
$ \int \int \int_{V} 2 \text{d}x \text{d}y \text{d}z = 2 \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^2 [\int_0^z \rho \text{d}\rho] \text{d}z = 2 \pi \int_0^2 z^2 \text{d}z = 16/3 \pi $
$V = {(x, y, z) \in \RR^3: z^2 \ge (x - 1)^2 + y^2, 0 \le z \le 2} $
$V = {(x, y, z) \in \RR^3: z^2 \ge (x - 1)^2 + y^2, 0 \le z \le 2} $
Il teorema della divergenza asserisce che
$ \int \int_{del V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\text{d}V = \int\int\int_{V} \text{div}\mathbf{F}(x, y, z) \text{d}v $
\int \int_{del V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\text{d}V = \int\int\int_{V} \text{div}\mathbf{F}(x, y, z) \text{d}v $
ove nel caso in esame $\mathbf{F} (x, y, z) = (F_1(x, y, z), F_2(x, y, z), F_3(x, y, z)) = (x - 1, y, 0) $ e
$\text{div}\mathbf{F}(x, y, z) = (del F_1)/(del x) + (del F_2)/(del y) + (del F_3)/(del z) = 1 + 1 + 0 = 2 $
Pertanto l'integrale da risolvere è il seguente:
$ \int \int \int_{V} 2 \text{d}x \text{d}y \text{d}z = 2 \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^2 [\int_0^z \rho \text{d}\rho] \text{d}z = 2 \pi \int_0^2 z^2 \text{d}z = 16/3 \pi $
$ \int \int \int_{V} 2 \text{d}x \text{d}y \text{d}z = 2 \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^2 [\int_0^z \rho \text{d}\rho] \text{d}z = 2 \pi \int_0^2 z^2 \text{d}z = 16/3 \pi $
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