Integrale triplo su un ottante di sfera

[ghezzi68v]

L'esercizio è il seguente :

Calcolare $int int int_E 1/(x^2 + y^2 + z^2)^3 dxdydz$

con $E={ (x,y,z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 <=4 , x>=0 , y <=0 , z>=sqrt3}$

La funzione integranda suggerisce un cambio in coordinate sferiche poichè $\rho^2 = x^2 + y^2 + z^2$ , pertanto


$\{(x = \rho cos\theta sen\phi ),(y = \rho sen\theta sen\phi),(z = \rho cos\phi):}$

e imponendo le condizioni iniziali ottengo $\rho <= 2$

$\{(x = \rho cos\theta sen\phi >= 0),(y = \rho sen\theta sen\phi <=0 ),(z = \rho cos\phi >= sqrt3):}$

quindi $2 cos\phi >= sqrt3 hArr cos\phi >= \frac{sqrt3}{2} hArr -frac{pi}{6} <= \phi <= frac{pi}{6}$

$\rho sen\theta sen\phi <= \rho cos\theta sen\phi hArr sen\theta <= cos\theta hArr -frac{3pi}{4} <= \theta <= frac{pi}{4} $ ,

( anche se "ad occhio" $\theta$ avrebbe dovuto variare tra $-frac{pi}{2}$ e $0$, poichè l'ottante di sfera

tagliato dal piano $z=sqrt3$ giace sul IV quadrante $Oxy$ ).

Quindi riscrivendo $E$ in coordinate sferiche ottengo

$F={ ( \rho , \theta , \phi ) in RR^3 : \rho in [0,2] , \theta in [-frac{3pi}{4} , frac{pi}{4} ] , \phi in [-frac{pi}{6} , frac{pi}{6} ] }$

e l'integrazione diventa $int_(\phi=-frac{pi}{6})^(frac{pi}{6}) int_(\theta=-frac{3pi}{4})^(frac{pi}{4}) int_(\rho=0)^2 1/(\rho^2)^3 \rho^2 sen\phi d\rho d\theta d\phi $

ossia $int_(\phi=-frac{pi}{6})^(frac{pi}{6}) sen\phi int_(\theta=-frac{3pi}{4})^(frac{pi}{4}) int_(\rho=0)^2 1/(\rho^4) d\rho d\theta d\phi $ ,

ma $[ -cos\phi ]_(\phi=-frac{pi}{6})^(frac{pi}{6}) = 0$ quindi posso concludere che il risultato è $0$.

Spero che i ragionamenti siano corretti, volevo sapere se gli intervalli scelti sono corretti o meno. Ringrazio in anticipo.