Integrale triplo, problema col dominio
Ciao, mi son bloccato con questo esericizio:
calcolare $intintintz^2dxdydz$ dove il dominio su cui calcolarlo è: $1<=x^2+y^2+z^2<=4 ; z>=x^2+y^2 ; z>=0$
io passo in coordinate sferiche e sostituendo nel dominio ottengo $rho[1,2]$, $theta[0,2pi]$ e per $varphi$ con $z>=0$ ottengo che $varphi[-pi/2,pi/2]$ ma poi mi blocco, ovvero, sostituisco in $z>=x^2+y^2$ e ottengo $rhocos(varphi)>=rho^(2)(sen(varphi))^2$ che diventa $cos(varphi)>=rho(sen(varphi))^2$ e qua mi blocco, non riesco ad uscirne, non son capace di trattare quel $rho$, che varia tra $1$ e $2$ e dunque non riesco a trovare i valori di $varphi$, ho provato ad usare anche le coord. cilindriche ma niente da fare....
calcolare $intintintz^2dxdydz$ dove il dominio su cui calcolarlo è: $1<=x^2+y^2+z^2<=4 ; z>=x^2+y^2 ; z>=0$
io passo in coordinate sferiche e sostituendo nel dominio ottengo $rho[1,2]$, $theta[0,2pi]$ e per $varphi$ con $z>=0$ ottengo che $varphi[-pi/2,pi/2]$ ma poi mi blocco, ovvero, sostituisco in $z>=x^2+y^2$ e ottengo $rhocos(varphi)>=rho^(2)(sen(varphi))^2$ che diventa $cos(varphi)>=rho(sen(varphi))^2$ e qua mi blocco, non riesco ad uscirne, non son capace di trattare quel $rho$, che varia tra $1$ e $2$ e dunque non riesco a trovare i valori di $varphi$, ho provato ad usare anche le coord. cilindriche ma niente da fare....
Risposte
ciao 
il dominio è un settore di una corona sferica nel semipiano $ z > 0 $.
credo che $ \varphi \in [0, \pi/2] $ dato che, in questo settore, " ci si ferma" all'equatore in termini di colatitudine..
il dominio è un settore di una corona sferica nel semipiano $ z > 0 $.credo che $ \varphi \in [0, \pi/2] $ dato che, in questo settore, " ci si ferma" all'equatore in termini di colatitudine..
ciao, invece $ \varphi \in [0, \pi/4] $ ed è per questo che sto cercando di capire bene perchè...grazie cmq della risposta
Per capire come delimitare correttamente il valore di $\theta$ e di $\rho$ io procederei non solo attraverso la disequazione ma anche attraverso un disegno. Osserva che, a causa della simmetria circolare attorno all'asse $z$, possiamo disegnare i "profili" delle superfici come curve nel piano $xOz$ (in pratica ponendo $y=0$) ottenendo le tre curve $1=x^2+z^2=4,\ z=x^2$ e prendendo solo il semipiano positivo. Il dominio che esse delimitano è quello compreso tra le due corone circolari e sopra la parabola. Osservandolo, si evince che in qualche modo ci debba essere una relazione tra $\varphi$ e $\rho$, dal momento che il raggio vettore uscente dall'origine va a "sbattere", per alcuni valori di dell'angolo, contro la curva formata dalla parabola. Puoi osservare che ci sono 2 angoli particolari che spezzano il dominio in due parti: essi sono quelli formati, con l'asse delle $z$, dai raggi vettori che uniscono l'origine del sistema con i punti di intersezione della parabola e delle corone (ricorda che $\varphi$ va preso su $[0,\pi]$, in generale, per definizione delle coordinate sferiche, come angolo formato tra il raggio vettore e l'asse $z$ - mentre tu stai prendendo un anglo formato con il piano $xOy$ e ciò non è conveniente. Inoltre le coordinate sferiche giuste sono queste, con la mia scelta degli angoli
$$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\theta$$
come puoi facilmente vedere).
Dal momento che i punti di intersezione sono $A(\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},\frac{\sqrt{5}-1}{2})$ con la corona più piccola e $B(\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}},\frac{\sqrt{17}-1}{2})$ con la corona più grande, i due angoli sono $\beta$ e $\alpha<\beta$, con la condizione che $\cos\alpha=2\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}$ e $\cos\beta=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$. Sempre osservando la figura, notiamo che per $\varphi\in[0,\alpha]$ il valore di $\rho\in[1,2]$ perché la limitazione è data, sia da sotto che da sopra, dalle circonferenze. Ma quando $\varphi\in[\alpha,\beta]$ il valore di $\rho$ è maggiore sì di $1$, ma è limitato dall'alto dal valore assunto sulla parabola. Tale valore è quello che si ricava dall'equazione che ti crea difficoltà: essendo
$$\rho\cos\varphi\ge\rho^2\sin^2\varphi$$
applicando la trasformazione, poiché $\rho>0$ si ricava
$$\rho\le\frac{\cos\varphi}{\sin^2\varphi}$$
che è la seconda condizione.
In definitiva, passano a coordinate sferiche, dovrai spezzare l'integrale sui due domini seguenti:
$$D_1:\ \rho\in[1,2],\qquad \theta\in[0,2\pi],\qquad \varphi\in[0,\alpha]\\ D_2:\ 1\le\rho\le\frac{\cos\varphi}{\sin^2\varphi},\qquad \theta\in[0,2\pi],\qquad \varphi\in[\alpha,\beta]$$
Spero che la spiegazione sia esauriente.
$$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\theta$$
come puoi facilmente vedere).
Dal momento che i punti di intersezione sono $A(\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},\frac{\sqrt{5}-1}{2})$ con la corona più piccola e $B(\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}},\frac{\sqrt{17}-1}{2})$ con la corona più grande, i due angoli sono $\beta$ e $\alpha<\beta$, con la condizione che $\cos\alpha=2\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}$ e $\cos\beta=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$. Sempre osservando la figura, notiamo che per $\varphi\in[0,\alpha]$ il valore di $\rho\in[1,2]$ perché la limitazione è data, sia da sotto che da sopra, dalle circonferenze. Ma quando $\varphi\in[\alpha,\beta]$ il valore di $\rho$ è maggiore sì di $1$, ma è limitato dall'alto dal valore assunto sulla parabola. Tale valore è quello che si ricava dall'equazione che ti crea difficoltà: essendo
$$\rho\cos\varphi\ge\rho^2\sin^2\varphi$$
applicando la trasformazione, poiché $\rho>0$ si ricava
$$\rho\le\frac{\cos\varphi}{\sin^2\varphi}$$
che è la seconda condizione.
In definitiva, passano a coordinate sferiche, dovrai spezzare l'integrale sui due domini seguenti:
$$D_1:\ \rho\in[1,2],\qquad \theta\in[0,2\pi],\qquad \varphi\in[0,\alpha]\\ D_2:\ 1\le\rho\le\frac{\cos\varphi}{\sin^2\varphi},\qquad \theta\in[0,2\pi],\qquad \varphi\in[\alpha,\beta]$$
Spero che la spiegazione sia esauriente.
Ciao, grazie per la risposta, me la son analizzata bene, hai ragione, ragionare sul piano $xz$ è moolto meglio, son riuscito a trovare i punti d'intersezione e capire come da questi calcolare l'angolo $varphi$, non ho ben capito come hai trattato l'angolo $alpha$, cioè, ho capito che ci son due angoli particolare e uno, quello che viene formato dai raggi vettori che intersecano le corone è quello "classico", l'altro, quello che nasce dall'intersezione con la parabola non mi è molto chiaro....altra cosa, per l'intersezione con la corona grande tutto apposto, ho trovato gli stessi punti, con quella più piccola a me non risulta un intersezione in $(1,1)$...anche se questa spiegherebbe il fatto dell'angolo formato sia di $pi/4$ con l'asse $z$....
Mi sono accorto che ho scritto le equazioni sbagliate per l'intersezione. Correggo sopra. Se hai fatto il disegno, dovresti vedere un raggio vettore che unisce $O$ con $A$ e uno che unisce $O$ con $B$ (che si trova più in alto di $A$). L'angolo $\alpha$ è quello formato dal raggio $OB$ con l'asse delle $z$, l'angolo $\beta$ quello formato dal raggio $OA$ con l'asse delle $z$.
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