Integrale triplo per fili
Salve.
Ho appena guardato tra le soluzioni di un esercizio, e mi chiedevo se si può risolvere con il metodo dell'integrazione per fili. Sono alle PRIMISSIME armi con gli integrali tripli. Ecco il testo:
Ho provato a fare il grafico e mi risulta:
Procedendo con il metodo per fili, trasformo in coordinate polari integro $ z $ nell'intervallo tra
$ sqrt(r^2-2)<=z<=sqrt(4-r^2) $ ... Per ora procedo giusto?
Grazie anticipatamente.
Grazie!!
Ho appena guardato tra le soluzioni di un esercizio, e mi chiedevo se si può risolvere con il metodo dell'integrazione per fili. Sono alle PRIMISSIME armi con gli integrali tripli. Ecco il testo:
Ho provato a fare il grafico e mi risulta:
Procedendo con il metodo per fili, trasformo in coordinate polari integro $ z $ nell'intervallo tra
$ sqrt(r^2-2)<=z<=sqrt(4-r^2) $ ... Per ora procedo giusto?
Grazie anticipatamente.
Grazie!!
Risposte
L'idea di passare alle coordinare polari/cilindriche mi sembra buona. Dovresti aver ottenuto qualcosa come:
\[ \int_K z\,r^3\,\sin\theta\,\cos\theta\,dr\,d\theta\,dz \]
A questo punto è possibile seguire diverse strade. Dal tuo messaggio non sono sicuro tu abbia seguito la strada più semplice. Per prima cosa abbiamo che l'intervallo di \(\theta\) è indipendente dalle altre variabili, per cui conviene integrare separatamente la variabile ottenendo
\[ \int_0^{\pi/2} \sin\theta\,\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{2} \]
A questo punto abbiamo che \(r\) e \(z\) dipendono l'una dall'altra. Tuttavia, osservando il dominio che hai disegnato, sembra che integrare \(r\) fissando \(z\) porti ad un dominio più semplice. In particolare puoi separare l'integrale in due parti, una per \(0 \leq z \leq 1\) e l'altra per \(1 \leq z \leq 2.\) Nel primo intervallo hai che \(0 \leq r \leq \sqrt{z^2 + 2}\) e nell'altro \(0 \leq r \leq \sqrt{4 - z^2}\). Seguendo questa strada otterresti:
\[ \frac{1}{2}\,\left( \int_0^1 z \, \biggl( \, \int_0^{\sqrt{z^2 + 2}} r^3\,dr \biggr) \,dz + \int_1^2 z \, \biggl( \, \int_0^{\sqrt{4 - z^2}} r^3\,dr \biggr) \,dz \right) \]
A questo punto non dovrebbe essere difficile proseguire.
\[ \int_K z\,r^3\,\sin\theta\,\cos\theta\,dr\,d\theta\,dz \]
A questo punto è possibile seguire diverse strade. Dal tuo messaggio non sono sicuro tu abbia seguito la strada più semplice. Per prima cosa abbiamo che l'intervallo di \(\theta\) è indipendente dalle altre variabili, per cui conviene integrare separatamente la variabile ottenendo
\[ \int_0^{\pi/2} \sin\theta\,\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{2} \]
A questo punto abbiamo che \(r\) e \(z\) dipendono l'una dall'altra. Tuttavia, osservando il dominio che hai disegnato, sembra che integrare \(r\) fissando \(z\) porti ad un dominio più semplice. In particolare puoi separare l'integrale in due parti, una per \(0 \leq z \leq 1\) e l'altra per \(1 \leq z \leq 2.\) Nel primo intervallo hai che \(0 \leq r \leq \sqrt{z^2 + 2}\) e nell'altro \(0 \leq r \leq \sqrt{4 - z^2}\). Seguendo questa strada otterresti:
\[ \frac{1}{2}\,\left( \int_0^1 z \, \biggl( \, \int_0^{\sqrt{z^2 + 2}} r^3\,dr \biggr) \,dz + \int_1^2 z \, \biggl( \, \int_0^{\sqrt{4 - z^2}} r^3\,dr \biggr) \,dz \right) \]
A questo punto non dovrebbe essere difficile proseguire.
Tutto chiaro, grazie mille!!
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