Integrale triplo: intersezione sfera piano

[Riz9201]

Salve a tutti, ho un problema nel risolvere questo esercizio:
$ int_(A) (x^3+1) dx dy dz $
$ A={(x,y,z): x^2+y^2+z^2<=4, x>=1} $

Ho capito che l'insieme A è l'intersezione tra la sfera di centro l'origine e raggio 2 con il piano x=1.
Però non so come procedere. Ho provato a usare coordinate sferiche, ma non riesco poi a procedere..
Così ho provato a ridefinire A come $ A={(x,y,z): 1<=x<=2, -sqrt(4-x^2)<=y<=sqrt(4-x^2), -sqrt(4-x^2-y^2)<=z<=sqrt(4-x^2-y^2)} $
e poi la mia idea era calcolare
$ int_(1)^(2) int_(-sqrt(4-x^2))^(sqrt(4-x^2)) int_(-sqrt(4-x^2-y^2))^(sqrt(4-x^2-y^2)) (x^3+1) dz dy dx $
ma così facendo ho l'impressione di complicare tutto l'esercizio.
C'è un altro modo per ridefinire l'insieme A e procedere in maniera più semplice?

[HaldoSax]

Io lo farei così: integro x tra 1 e 2, dopo utilizzo le coordinate polari $z=\rho cos\theta$ $y=\rho sin\theta$. con $\rho \in [0,2]$ e $\theta \in [0,2\pi]$.