Integrale triplo in coordinate sferiche. Il pezzo mancante.
Buongiorno a tutti,
ho da fare il seguente integrale
$ int_ELog(x^2+y^2+z^2)dx dy dz $
dove E è definito come l'intersezione tra la sfera unitaria e $C={(x,y,z) : z>=0, z^2>x^2+y^2 }$.
Ora la sfera unitaria (il problema dice proprio così) ho supposto fosse centrata in 000 e C definisce un cono.
In pratica il dominio di integrazione è un cono con una cupola sopra, giusto?
Apparentemente sembra facile. Posso passare in coordinate sferiche (ho simmetria radiale sia per la funzione sia nel dominio) ed ottengo $ int_0^{2 pi}d phi int_0^(pi/2) sin(theta) d thetaint_0^1Log(rho^2)rho^2 d rho $
che dovrebbe fare $4 pi /9 $. Giusto? Evidentemente no, dal momento che il risultato è uguale al mio MENO $2 sqrt(2) pi /9$, come se avesse tolto un pezzetto curvo da qualche parte.
Ma non capisco da dove? Il dominio di integrazione è proprio quello, non c'è da togliere niente. O sì?
Grazie per la mano.
ho da fare il seguente integrale
$ int_ELog(x^2+y^2+z^2)dx dy dz $
dove E è definito come l'intersezione tra la sfera unitaria e $C={(x,y,z) : z>=0, z^2>x^2+y^2 }$.
Ora la sfera unitaria (il problema dice proprio così) ho supposto fosse centrata in 000 e C definisce un cono.
In pratica il dominio di integrazione è un cono con una cupola sopra, giusto?
Apparentemente sembra facile. Posso passare in coordinate sferiche (ho simmetria radiale sia per la funzione sia nel dominio) ed ottengo $ int_0^{2 pi}d phi int_0^(pi/2) sin(theta) d thetaint_0^1Log(rho^2)rho^2 d rho $
che dovrebbe fare $4 pi /9 $. Giusto? Evidentemente no, dal momento che il risultato è uguale al mio MENO $2 sqrt(2) pi /9$, come se avesse tolto un pezzetto curvo da qualche parte.
Ma non capisco da dove? Il dominio di integrazione è proprio quello, non c'è da togliere niente. O sì?
Grazie per la mano.
Risposte
giustooo!! perchè ci si ferma a metà (ovvero pi/4) e l'altro pi/4 di cono lo fai con il giro sulla phi. grazie mille!
in effetti mi suonava strano dover integrare il seno (funzione dispari) da -pi/4 a pi/4.
Il mio secondo dubbio infatti riguardava la leicità della traslazione del dominio di integrazione, anche se credo che in effetti risulti più utile al contrario.
Cioè, facciamo finta di avere a che fare con un'integrazione di una complicatissima funzione dispari su un dominio del tipo [0,a]. Posso sempre sostituirla con un'integrazione su [-a/2,a/2]?
A fare un paio di prove parrebbe di no. Ad esempio il seno (complicatissima!) su [-pi/2,pi/2] è diverso del seno su [0,pi]. Però non è neanche vero che non è mai così. Ad esempio sempre il seno su [0,pi/2] è uguale al seno su [pi/2,pi]. E il seno è periodico su n2pi, non sù pi/2 nè su pi.
A logica io direi che è una cosa che non si può fare perchè, al di là del "risultato matematico", integrare su estremi di integrazione diversi significa integrare su domini diversi, cioè proprio su figure geometriche diverse. Quando viene è un caso fortuito.
ps. il problema in effetti diceva "palla", non sfera. L'ho cambiato io perchè mi sembrava un nome scemo
in effetti mi suonava strano dover integrare il seno (funzione dispari) da -pi/4 a pi/4.
Il mio secondo dubbio infatti riguardava la leicità della traslazione del dominio di integrazione, anche se credo che in effetti risulti più utile al contrario.
Cioè, facciamo finta di avere a che fare con un'integrazione di una complicatissima funzione dispari su un dominio del tipo [0,a]. Posso sempre sostituirla con un'integrazione su [-a/2,a/2]?
A fare un paio di prove parrebbe di no. Ad esempio il seno (complicatissima!) su [-pi/2,pi/2] è diverso del seno su [0,pi]. Però non è neanche vero che non è mai così. Ad esempio sempre il seno su [0,pi/2] è uguale al seno su [pi/2,pi]. E il seno è periodico su n2pi, non sù pi/2 nè su pi.
A logica io direi che è una cosa che non si può fare perchè, al di là del "risultato matematico", integrare su estremi di integrazione diversi significa integrare su domini diversi, cioè proprio su figure geometriche diverse. Quando viene è un caso fortuito.
ps. il problema in effetti diceva "palla", non sfera. L'ho cambiato io perchè mi sembrava un nome scemo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo