Integrale triplo in coordinate cilindriche
Ciao a tutti, ho trovato un esercizio in cui viene chiesto il volume dello spazio interno alla sfera $ x^2 +y^2 +z^2 = 2 $ e sopra al cono $ z=sqrt(x^2+y^2) $
In coordinate sferiche trovare gli estremi è piuttosto facile, e l'esercizio viene correttamente.
In coordinate cilindriche, cercando analiticamente gli estremi di integrazione, ho che l'angolo teta varia fra 0 e 2pi, la z varia fra 1 (punto di intersezione del cono con la sfera) e sqrt(2) (punto con quota più alta della sfera), mentre la ro dovrebbe variare fra 0 e $ sqrt(2- z^2) $ , ossia la circonferenza di raggio sqrt(2) del piano z,ro.
Anche vedendo il disegno mi sembra che gli estremi siano giusti, fissando la z fra 1 e sqrt(2) si ha che ro varia fra 0 e appunto la circonferenza che è in funzione di z.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto.
*Per chiarezza, il volume corretto è $ (4sqrt(2) -4)*pi/3 $
In coordinate sferiche trovare gli estremi è piuttosto facile, e l'esercizio viene correttamente.
In coordinate cilindriche, cercando analiticamente gli estremi di integrazione, ho che l'angolo teta varia fra 0 e 2pi, la z varia fra 1 (punto di intersezione del cono con la sfera) e sqrt(2) (punto con quota più alta della sfera), mentre la ro dovrebbe variare fra 0 e $ sqrt(2- z^2) $ , ossia la circonferenza di raggio sqrt(2) del piano z,ro.
Anche vedendo il disegno mi sembra che gli estremi siano giusti, fissando la z fra 1 e sqrt(2) si ha che ro varia fra 0 e appunto la circonferenza che è in funzione di z.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto.
*Per chiarezza, il volume corretto è $ (4sqrt(2) -4)*pi/3 $
Risposte
Non ho ben capito perché hai escluso tutto il cono dal computo (guarda meglio sia \(z\) che \(\rho\) 
)
)
Ho interpretato il "sopra" il cono come lo spazio interno alla sfera che si ha a partire dalla circonferenza che delimita l'intersezione fra il cono e la sfera in corrispondenza dei punti di quota z=1.
Per chiarirci, la calotta sferica che si vede in questa immagine a sinistra:
Per chiarirci, la calotta sferica che si vede in questa immagine a sinistra:
Il cono non è orizzontale, ma verticale. Sopra vuol dire oltre la base.
Sì non era una rappresentazione degli assi, volevo solo fargli intendere a quale volume mi riferissi. Se quel cono fosse messo verticalmente, il volume non sarebbe appunto la calotta sferica che poggia sulla sua circonferenza di base? (Quindi individuando punti che hanno una quota che varia fra 1 e $ sqrt(2) $ )
Sì, mi pare che il volume da calcolare sia proprio quello (cioè della "semi-pallina" di gelato sopra il cono).
Non capisco allora quale errore ci sia negli estremi, la ro non è corretta?
A me vengono queste:
$$\theta\in[0,2\pi],\qquad 0\le\rho\le\sqrt{2},\qquad 1\le z\le\sqrt{2-\rho^2}$$
E comunque non mi torna il tuo risultato.
$$\theta\in[0,2\pi],\qquad 0\le\rho\le\sqrt{2},\qquad 1\le z\le\sqrt{2-\rho^2}$$
E comunque non mi torna il tuo risultato.
Dovrebbero essere le stesse, tu hai fissato la ρ e hai la z che varia in funzione di essa, io il contrario. Anche con questi estremi il risultato complessivo non viene uguale al risultato del libro.
Con le sferiche si può impostare come:
$ Theta in [0,2pi], phi in [0, pi/4], rho in [0, sqrt(2)] $
Inserendo il determinante della Jacobiana nell'integrale si ottiene il risultato che ho postato all'inizio, nonostante $ rho=0 $ non mi convinca come estremo, i punti a $ rho $ minima sono quelli interni alla circonferenza base del cono.
Con le sferiche si può impostare come:
$ Theta in [0,2pi], phi in [0, pi/4], rho in [0, sqrt(2)] $
Inserendo il determinante della Jacobiana nell'integrale si ottiene il risultato che ho postato all'inizio, nonostante $ rho=0 $ non mi convinca come estremo, i punti a $ rho $ minima sono quelli interni alla circonferenza base del cono.
$\rho=0$ ha senso, sono i punti vicino all'asse di rotazione (asse $z$). Il risultato corretto dovrebbe essere $\pi\frac{2\sqrt[3]{4}-3}{2}$
Nelle sferiche però la distanza dovrebbe essere misurata dall'origine degli assi cartesiani, non dall'asse z come nelle cilindriche, per quello $ rho=0 $ non mi convince.
Non so se hai riportato correttamente il risultato riportato sul libro, però il valore di tale volume è \(\frac{4\sqrt{2}-5}{3}\pi\). Puoi avere un confronto fornito dalla geometria solida: \[V=\frac{\pi}{3}(3R-h)h^2\] dove \(V\) è il volume della calotta sferica, \(R\) il raggio della sfera e \(h\) l'altezza della calotta. Per l'integrale, semplicemente e seguendo i tuoi estremi: \[V=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{1}^{\sqrt{2}}\mathrm{d}z\int_{0}^{\sqrt{2-z^2}}\rho\mathrm{d}\rho=\frac{4\sqrt{2}-5}{3}\pi\]
Ho riguardato i calcoli con le coordinate cilindriche e ora mi esce il tuo stesso risultato. Il libro (ed io come lui) fornisce un risultato errato perché quando usa le coordinate sferiche impone una $ rho in [0,sqrt(2)] $ ma 0 è scorretto, dovrebbe essere invece la distanza dalla circonferenza data dall'intersezione del cono con la sfera, però non capisco come ricavarla dalle equazioni di partenza fornite dall'esercizio.
Eh, no, in realtà è come ti avevo detto all'inizio: "sopra il cono" significa per le \(z\) positive nella parte interna all'unione delle due superfici..altrimenti non aveva nemmeno molto senso tirare fuori questo cono. Infatti il volume del cono è \(\frac{\pi}{3}r^2h\), con ovvia dicitura, da cui: \[V=\frac{4\sqrt{2}-5}{3}\pi+\frac{\pi}{3}=4\frac{\sqrt{2}-1}{3}\pi\]
Perché però prendere un $ phi in [0,pi/4] $ se il volume che viene spazzato non è solo la calotta ma anche l'interno del cono, che corrisponde a punti con angolo maggiore di $ pi/4 $ ? Non dovrebbe a questo punto essere $ pi/2 $ l'estremo di $ phi $ ?
Perdonami per la confusione
Perdonami per la confusione
Infatti! Però l'estremo inferiore non è zero, ma \(\frac{\pi}{4}\). D'altronde, se ruoti la sfera, il volume è sempre lo stesso e hai \(\phi\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\), mentre le altre variabili restano inalterate.
Capito, così mi torna anche la scelta del suo estremo di $ phi $ .
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
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