Integrale triplo (improprio?)
Salve a tutti!
Mi trovo davanti a questo simpatico integrale:
\( \iiint_{Q}\, z \cdot max\{x,y\} \ dx\, dy\, dz \)
con il dominio definito come:
\( Q=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x \ge 0, \ y \ge 0, \ 0 \le z \le {1 \over \sqrt{x^2+y^2}}-1 \} \)
Non sono assai pratico di integrali tripli, ma osservo che il dominio è illimitato (almeno rispetto a \( x,y \) e quindi l'integrale è improprio...
Inoltre, come integro il tutto? Pensavo di farlo per fili, ma posso scambiare l'ordine di integrazione e partire da \( dz \) ? E poi, con gli estremi di integrazione che tendono a infinito come mi comporto?
Grazie in anticipo a tutti! Perdonate le domande sicuramente banali, ma sono ancora alle prime armi in questo ambito!
Mi trovo davanti a questo simpatico integrale:
\( \iiint_{Q}\, z \cdot max\{x,y\} \ dx\, dy\, dz \)
con il dominio definito come:
\( Q=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x \ge 0, \ y \ge 0, \ 0 \le z \le {1 \over \sqrt{x^2+y^2}}-1 \} \)
Non sono assai pratico di integrali tripli, ma osservo che il dominio è illimitato (almeno rispetto a \( x,y \) e quindi l'integrale è improprio...
Inoltre, come integro il tutto? Pensavo di farlo per fili, ma posso scambiare l'ordine di integrazione e partire da \( dz \) ? E poi, con gli estremi di integrazione che tendono a infinito come mi comporto?
Grazie in anticipo a tutti! Perdonate le domande sicuramente banali, ma sono ancora alle prime armi in questo ambito!
Risposte
La prima cosa da notare e' che e' conveniente passare alle coordinate cilindriche $\theta, \rho, z$.
In questa coordinate, la seconda cosa da notare e' che $1/\sqrt(x^2+y^2) = 1/\rho$.
Terza cosa, il dominio non e' illimitato. Infatti $(0 (0<1/\rho -1) ->(\rho < 1)$.
Quarto, con $x > 0, y > 0$ siamo nel primo quadrante.
Quinto, bisogna in qualche modo sistemare quel $max(x, y)$. Se tracciamo la retta $x=y$, dovremmo notare che fa da divisoria tra la zona in basso a destra dove $max(x, y) = x$ e l'altra zona dove $max(x, y) = y$.
Si dovrebbe notare che i valori di $max(x, y)$ sono speculari rispetto alla $x = y$. Se prendiamo ad es. il punto (x,y) = (5,1) vediamo che $max(5,1) = 5$ e il nel punto speculare vale $max(1,5) = 5$, lo stesso valore.
Quindi dividiamo l'integrale in due, uno per ogni zona. Il valore dell'integrale sara' lo stesso nelle due zone, quindi ne calcoliamo una e poi raddoppiamo.
Scegliamo la zona dove $max(x, y) = x$, e $x$ diventa $x = \rho cos\theta$
In coordinate polari la retta $x = y$ diventa $-3/4\pi<\theta< \pi/4$ che diventa $0<\theta< \pi/4$ siccome siamo solo nel primo quadrante.
Voila', abbiamo tutte quello che serve per partire:
$$ 2 \int_{\theta=0}^{\pi/4} \int_{\rho = 0}^1 \int_{z = 0}^{1/\rho-1} z\ \rho\ \cos\theta\ \rho\ dz\ d\rho\ d\theta\ $$
Integriamo su $z$
$$ 2 \int_{\theta=0}^{\pi/4} \int_{\rho = 0}^1 \frac{z^2}{2} \bigg\rvert_0^{1/\rho-1} \rho^2\ \cos\theta\ d\rho\ d\theta\ $$
e poi...
$$ 2 \int_{\theta=0}^{\pi/4} \int_{\rho = 0}^1 \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\rho}-1 \right)^2 \rho^2\ \cos\theta\ d\rho\ d\theta\ $$
$$ \int_{\theta=0}^{\pi/4} \int_{\rho = 0}^1 (\rho-1)^2 \cos\theta\ d\rho\ d\theta\ $$
$$ \int_{\theta=0}^{\pi/4} \frac{1}{3}(\rho-1)^3 \bigg\rvert_0^1 \cos\theta\ d\theta\ $$
$$ \frac{1}{3} \int_{\theta=0}^{\pi/4} \cos\theta\ d\theta\ $$
$$\frac{1}{3\sqrt{2}}$$
In questa coordinate, la seconda cosa da notare e' che $1/\sqrt(x^2+y^2) = 1/\rho$.
Terza cosa, il dominio non e' illimitato. Infatti $(0
Quarto, con $x > 0, y > 0$ siamo nel primo quadrante.
Quinto, bisogna in qualche modo sistemare quel $max(x, y)$. Se tracciamo la retta $x=y$, dovremmo notare che fa da divisoria tra la zona in basso a destra dove $max(x, y) = x$ e l'altra zona dove $max(x, y) = y$.
Si dovrebbe notare che i valori di $max(x, y)$ sono speculari rispetto alla $x = y$. Se prendiamo ad es. il punto (x,y) = (5,1) vediamo che $max(5,1) = 5$ e il nel punto speculare vale $max(1,5) = 5$, lo stesso valore.
Quindi dividiamo l'integrale in due, uno per ogni zona. Il valore dell'integrale sara' lo stesso nelle due zone, quindi ne calcoliamo una e poi raddoppiamo.
Scegliamo la zona dove $max(x, y) = x$, e $x$ diventa $x = \rho cos\theta$
In coordinate polari la retta $x = y$ diventa $-3/4\pi<\theta< \pi/4$ che diventa $0<\theta< \pi/4$ siccome siamo solo nel primo quadrante.
Voila', abbiamo tutte quello che serve per partire:
$$ 2 \int_{\theta=0}^{\pi/4} \int_{\rho = 0}^1 \int_{z = 0}^{1/\rho-1} z\ \rho\ \cos\theta\ \rho\ dz\ d\rho\ d\theta\ $$
Integriamo su $z$
$$ 2 \int_{\theta=0}^{\pi/4} \int_{\rho = 0}^1 \frac{z^2}{2} \bigg\rvert_0^{1/\rho-1} \rho^2\ \cos\theta\ d\rho\ d\theta\ $$
e poi...
$$ 2 \int_{\theta=0}^{\pi/4} \int_{\rho = 0}^1 \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\rho}-1 \right)^2 \rho^2\ \cos\theta\ d\rho\ d\theta\ $$
$$ \int_{\theta=0}^{\pi/4} \int_{\rho = 0}^1 (\rho-1)^2 \cos\theta\ d\rho\ d\theta\ $$
$$ \int_{\theta=0}^{\pi/4} \frac{1}{3}(\rho-1)^3 \bigg\rvert_0^1 \cos\theta\ d\theta\ $$
$$ \frac{1}{3} \int_{\theta=0}^{\pi/4} \cos\theta\ d\theta\ $$
$$\frac{1}{3\sqrt{2}}$$
Guarda, io non so come ringraziarti! 
Mi hai illustrato tutti i ragionamenti in maniera chiara e sicuramente ne farò tesoro per capire la strategia risolutiva in futuro!
...e ho anche capito che stavo decisamente sbagliando strada!
Questo forum è sempre il numero uno!
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