Integrale triplo facile (?)
Ciao, amici!
Ho cercato di calcolare un integrale triplo che apparentemente mi sembrava piuttosto facile, ma la cui soluzione data dal libro non coincide con quella che trovo io e, dati i non rari errori di stampa che sto trovando, mi sento un po' spiazzato... L'integrale è
$\int\int\int_{V} dxdydz$ per $V={(x,y,z): x^2+y^2+z^2<=25, z>=2}$ dove direi che V è la calotta sferica ottenuta sezionando la sfera di centro (0,0,0) e raggio 5 con il piano z=2, quindi, sostituendo con coordinate sferiche (chiamo $\theta$ la distanza angolare rispetto all'asse delle z, $\phi$ quella dall'asse delle x e $\rho$ il raggio) mi pare che
$\int\int\int_{V} dxdydz = \int_{2}^{5}(\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{arccos(2/5)}\rho^2sin\thetad\theta)d\phi)d\rho = \int_{2}^{5}(\int_{0}^{2\pi}(-2/5+1)\rho^2d\phi)d\rho=\int_{2}^{5}(6\pi)/5\rho^2d\rho=(6\pi)/5((5^3-2^3)/3)=(234\pi)/5$. Il libro dà invece come risultato $36\pi$...
Che cosa ne pensate?
Grazie di cuore a tutti!!!
Davide
Ho cercato di calcolare un integrale triplo che apparentemente mi sembrava piuttosto facile, ma la cui soluzione data dal libro non coincide con quella che trovo io e, dati i non rari errori di stampa che sto trovando, mi sento un po' spiazzato... L'integrale è
$\int\int\int_{V} dxdydz$ per $V={(x,y,z): x^2+y^2+z^2<=25, z>=2}$ dove direi che V è la calotta sferica ottenuta sezionando la sfera di centro (0,0,0) e raggio 5 con il piano z=2, quindi, sostituendo con coordinate sferiche (chiamo $\theta$ la distanza angolare rispetto all'asse delle z, $\phi$ quella dall'asse delle x e $\rho$ il raggio) mi pare che
$\int\int\int_{V} dxdydz = \int_{2}^{5}(\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{arccos(2/5)}\rho^2sin\thetad\theta)d\phi)d\rho = \int_{2}^{5}(\int_{0}^{2\pi}(-2/5+1)\rho^2d\phi)d\rho=\int_{2}^{5}(6\pi)/5\rho^2d\rho=(6\pi)/5((5^3-2^3)/3)=(234\pi)/5$. Il libro dà invece come risultato $36\pi$...
Che cosa ne pensate?
Grazie di cuore a tutti!!!
Davide
Risposte
Penso che ci sia un errore negli estremi di integrazione del raggio
Grazie, Quinzio! Che svista! Così facendo calcolavo l'integrale su un volume più ampio, quello di una parte di "buccia di sfera" (perdonatemi l'ignoranza di un termine geometrico appropriato 
)... Invece l'estremo di integrazione inferiore di $\rho$ deve essere la funzione di $\theta$ che $\rho$ rappresenta per ogni punto della superficie inferiore della calotta sferica secata da z=2, che, applicando un po' di trigonometria, risulta essere $2sec\theta$
$\int\int\int_{V} dxdydz = \int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{arccos(2/5)}(\int_{2sec\theta}^{5}\rho^2sin\thetad\rho)d\theta)d\phi =2\pi\int_{0}^{arccos(2/5)} sin\theta(125/3-8/3sec^3\theta) d\theta=36\pi$
(Anche) qui il libro aveva ragione. Per fortuna (è più rassicurante che sia così)!
Grazie a tutti!!!
)... Invece l'estremo di integrazione inferiore di $\rho$ deve essere la funzione di $\theta$ che $\rho$ rappresenta per ogni punto della superficie inferiore della calotta sferica secata da z=2, che, applicando un po' di trigonometria, risulta essere $2sec\theta$$\int\int\int_{V} dxdydz = \int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{arccos(2/5)}(\int_{2sec\theta}^{5}\rho^2sin\thetad\rho)d\theta)d\phi =2\pi\int_{0}^{arccos(2/5)} sin\theta(125/3-8/3sec^3\theta) d\theta=36\pi$
(Anche) qui il libro aveva ragione. Per fortuna (è più rassicurante che sia così)!
Grazie a tutti!!!
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