Integrale triplo esteso su una sfera

[irelimax]

Ciao a tutti,

devo risolvere il seguente integrale triplo
$$\int \!\!\!\! \int\!\!\!\! \int_{T} \frac{dx dy dz}{(x-2)^2 + y^2 + z^2}$$
dove
$$T = \left \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 + z^2 \le 2 \right \}$$

Ho provato a risolverlo sia passando alle coordinate sferiche che a quelle cilindriche, ma la funzione integranda si complica parecchio e vengono fuori dei conti assurdi da svolgere.
Ho provato anche a vedere T come dominio normale rispetto all'asse z integrando poi sul cerchio di raggio $\sqrt{2}$ ma anche in questo caso vengono integrali non facili da risolvere.

Potreste consigliarmi qualche altra strada da seguire?

Grazie in anticipo.

[21zuclo]

la mia idea..è quella di passare in coordinate sferiche traslate $ { ( x=2+\rho \sin\phi \cos\theta ),( y=\rho \sin\phi \sin\theta ),( z=\rho cos\phi ):} $

ora le sostituisci in $ x^2+y^2+z^2\leq 2 $

se non ho fatto male i conti..ti dovrebbe uscire..

$ 4+\rho^2\sin^2\phi\cos^2\theta+4\rho\sin\phi\costheta+\rho^2\sin^2\phi \sin^2\theta+\rho^2\cos^2\phi\leq 2 $

ora se prendi
$ \rho^2(\sin^2\phi\cos^2\theta+\sin^2\phi \sin^2\theta)=\rho^2\sin^2\phi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\rho^2 \sin^2\phi $

ti rimane da sommarlo all'altro $\rho^2\cos^2\phi$
e si ha $ \rho^2\sin^2\phi+\rho^2\cos^2\phi= \rho^2 $

mettendo insieme i pezzi hai
$ \rho^2+4\rho \sin\phi \cos\theta+2\leq 0 \to \text{equazione di secondo grado in } \rho $

ora puoi continuare...

ah NON ti scordare lo Jacobiano!

[irelimax]

Grazie per avermi risposto!

Il tuo ragionamento fila molto bene ma l'ultima equazione in $\rho$ non mi permette di capire quali sono le limitazioni di ro perchè il delta non è un quadrato perfetto e di conseguenza mi rimangono le variabili $\theta$ e $\phi$,

[21zuclo]

con l'ultima equazione..la svolgi come se fosse un'equazione di secondo grado..

$\rho^2+4\rho \sin \phi \cos\theta+2\leq 0$

$ \Delta=(4\sin\phi \cos\theta)^2-4(2)=16\sin^2\phi \cos^2\theta-8=8(2\sin^2\phi \cos^2\theta -1) $

quindi si ha

$ \rho=(-4\sin\phi \cos\theta\pm \sqrt(\Delta))/(2) $

lo so..poi avrai $\rho$ tra quei 2 brutti valori.. ah ti ricordo che $\sqrt(8)=2\sqrt(2)$

poi all'interno della radice il seno e il coseno..sono sempre positivi perché sono elevati al quadrato..

per cui secondo me $ { ( \theta \in [0,2\pi] ),( \phi \in [0,\pi] ):} $

[irelimax]

Non sono molto convinta e adesso ti spiego il perchè. é vero che nell'espressione di $\Delta$ il seno e il coseno sono positivi perchè elevati al quadrato, ma per avere radice reale deve essere $\Delta\geq 0$, quindi (utilizzando la formula con il delta quarti) si deve avere $\sin^2 \phi \geq \frac{1}{2 \cos^2 \theta}$. Inoltre, dall'espressione di $\rho = -2 \sin \phi \cos \theta \pm \sqrt{4 \sin^2 \phi \cos^2 \theta -2}$, osservo che (ammesso di trovare quei valori di $\theta$ e $\phi$ per i quali $\Delta \geq 0$) proprio perchè $4 \sin^2 \phi \cos^2 \theta \geq 2 \Rightarrow \sqrt{4 \sin^2 \phi \cos^2 \theta } \geq \sqrt{2} \Rightarrow -2\sin \phi \cos \theta \leq - \sqrt{2}$, Quindi in $rho$ la parte prima della $ \pm \sqrt{\Delta}$ è negativa. Posso quinsi subito escludere la radice con il segno -. D'altra parte anche se prendo la radice con il segno positivo, sto andando a sommare a $-2\sin \phi \cos \theta$ la radice del suo quadrato meno qualcosa (2) quindi anche in questo caso, trovo un valore di $\rho$ negativo, contro il fatto che $\rho >0$. Sbaglio?

[irelimax]

Ho dimenticato il valore assoluto quando estraggo la radice..quindi quando $2 \sin \phi \cos \theta < -\sqrt{2} $ trovo le due condizioni su $\rho$ che risultano così entrambe positive. Adesso quindi il problema si sposta sugli angoli. Come faccio a determinare $\theta$ e $\phi$ tali che $\rho$ sia accettabile?

Grazie a chiunque risponda!

[Valchiria1]

Potresti considerare il dominio come un'ellisse e generalizzare le coordinate polari:

\[ T = \left \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 + z^2 \le 2 \right \} \]

$x^2/2 + y^2/2 + z^2/2<=1$ cioè consideri l'ellisse come una sfera e passi a:

$ { ( x=a\ rho\sin\theta \cos\phi ),( y=b\ rho \sin\theta \sin\phi ),( z=c\ rho cos\theta ):} $

dove a,b,c sono $2^(1/2)$
Il jacobiano è $rho^2abcsintheta$, ricavato da quello della sfera.

$0<=theta<=pi$
$0<=phi<=2pi$
$0<=rho<=1$
Sfruttando l'identità fondamentale della trigonometria non mi pare venga complicato