Integrale triplo e altro
ciao..ieri ho svolta un atraccia d'esame, i risultati che mi sn usciti mi sembrano un pò strani, mi corregereste gli esercizi?
1.Calcolre $\int_D x^2ze^(sqrt(x^2+y^2))dxdydz$ dove D è il dominio di $RR^3$ delimitato dal paraboloide di equazione $z=x^2+y^2$ e dal piano
$z=1$.
$D={(x,y,z)inRR^3 : x^2+y^2<=z<=1}$ utilizzando le coordinate cilindriche $T:{(x=rhocostheta),(y=rhosintheta),(z=z):}$ ottengo
$rho^2<=z<=1 rArr rho^2<=1 rArr rho<=1$ dunque $D={(rho,theta,z)inRR^3 : rho^2<=z<=1 , rho<=1, 0<=thete<=2pi}$ con $det J_T=rho$
$\int_D (x^2ze^(sqrt(x^2+y^2)))dxdydz=int_0^(2pi) (costheta)^2 dtheta int_0^1 rho^3e^(rho)d(rho int_(rho^2)^1 z dz=
$(1/2)int_0^(2pi) (cos2theta-1)/2 int_0^1 rho^3e^(rho)(1-rho^4)d(rho)=pi/2 (int_0^1 rho^3e^(rho)drho-int_0^1 (rho)^7e^(rho)drho=$... risolvendo per parti i due integrali..$=pi/2(1852e-5084)$
2.Si determinino masssimi e minimi assoluti di $f(x,y)=x^2+y/2$ sul vincolo $x^2+y^4=2$
utilizzo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange
$\gradf=(2x,1/2)$
$\gradg=(2x,4y^3$
$\{(2x-2lambdax=0), (1/2-4lambay^3=0), (x^2+y^4=2):}$ dalla prima equazione ricavo $x=0 v lambda=1$
se $x=0 y=+-root(4)(2)$
se $lambda=1 y=1/2 x=+-sqrt(31)/4$
$f(0,root(4)(2))=root(4)(2)/2$
$f(0,-root(4)(2))=-root(4)(2)/2$ minimo
$f(+-sqrt(31)/4,1/2)=35/16$ massimo
3.Calcolare l'integrale curvilineo $int_gamma log(x^2+y^2)ds$ dove $gamma$ è la curva di parametrizzazione $\{(x=e^(2t)sin(2t)),(y=e^(2t)cos(2t)):}$
con $tin[0,2pi]
$int_gamma log(x^2+y^2)ds=int_0^(2pi) 8sqrt(2)te^t dt=$..integrando per parti..$=e^(4pi)(8sqrt(2)pi-2sqrt(2))-2sqrt(2)$
1.Calcolre $\int_D x^2ze^(sqrt(x^2+y^2))dxdydz$ dove D è il dominio di $RR^3$ delimitato dal paraboloide di equazione $z=x^2+y^2$ e dal piano
$z=1$.
$D={(x,y,z)inRR^3 : x^2+y^2<=z<=1}$ utilizzando le coordinate cilindriche $T:{(x=rhocostheta),(y=rhosintheta),(z=z):}$ ottengo
$rho^2<=z<=1 rArr rho^2<=1 rArr rho<=1$ dunque $D={(rho,theta,z)inRR^3 : rho^2<=z<=1 , rho<=1, 0<=thete<=2pi}$ con $det J_T=rho$
$\int_D (x^2ze^(sqrt(x^2+y^2)))dxdydz=int_0^(2pi) (costheta)^2 dtheta int_0^1 rho^3e^(rho)d(rho int_(rho^2)^1 z dz=
$(1/2)int_0^(2pi) (cos2theta-1)/2 int_0^1 rho^3e^(rho)(1-rho^4)d(rho)=pi/2 (int_0^1 rho^3e^(rho)drho-int_0^1 (rho)^7e^(rho)drho=$... risolvendo per parti i due integrali..$=pi/2(1852e-5084)$
2.Si determinino masssimi e minimi assoluti di $f(x,y)=x^2+y/2$ sul vincolo $x^2+y^4=2$
utilizzo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange
$\gradf=(2x,1/2)$
$\gradg=(2x,4y^3$
$\{(2x-2lambdax=0), (1/2-4lambay^3=0), (x^2+y^4=2):}$ dalla prima equazione ricavo $x=0 v lambda=1$
se $x=0 y=+-root(4)(2)$
se $lambda=1 y=1/2 x=+-sqrt(31)/4$
$f(0,root(4)(2))=root(4)(2)/2$
$f(0,-root(4)(2))=-root(4)(2)/2$ minimo
$f(+-sqrt(31)/4,1/2)=35/16$ massimo
3.Calcolare l'integrale curvilineo $int_gamma log(x^2+y^2)ds$ dove $gamma$ è la curva di parametrizzazione $\{(x=e^(2t)sin(2t)),(y=e^(2t)cos(2t)):}$
con $tin[0,2pi]
$int_gamma log(x^2+y^2)ds=int_0^(2pi) 8sqrt(2)te^t dt=$..integrando per parti..$=e^(4pi)(8sqrt(2)pi-2sqrt(2))-2sqrt(2)$
Risposte
Ho dato un'occhiata ai massimi e minimi e il procedimento mi sembra corretto. Per il terzo esercizio mi pare ci siano un paio di piccole imprecisioni forse errori di trascrizione:
- prima dell'integrazione per parti dovrebbe essere $e^2t$ e non $e^t$ e nel risultato finale ottengo $+sqrt(2)*2$ e non $-sqrt(2)*2$.
Spero a mia volta di non aver commesso errori e di esserti stato utile.
- prima dell'integrazione per parti dovrebbe essere $e^2t$ e non $e^t$ e nel risultato finale ottengo $+sqrt(2)*2$ e non $-sqrt(2)*2$.
Spero a mia volta di non aver commesso errori e di esserti stato utile.
si hai ragione per quanto riguarda il terzo esercizio sono stati errori di trascrizione...grazie per aver risposto
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