Integrale triplo coordinate sferiche
Ciao a tutti!
Vorrei chiedervi una conferma sullo svolgimento del seguente esercizio riguardante gli integrali tripli.
Testo: Calcolare l'integrale triplo:
$int int int (x+z) dxdydz$
dove
$x^2+y^2+z^2<=4$ , $1<=z<=$\(\displaystyle \surd2 \)
Soluzione. Passo subito alle coordinate polari quindi:
$ { ( x=rhocosthetasenphi ),( y=rhosenthetasenphi ),( z=rhocosphi ):} $
Adesso devo calcolarmi le limitazioni di $rho, theta$ e $phi$. Riesco già a calcolare che: $0<=theta<=2pi$ e $0<=rho<=2$
Mi manca di ricavare $phi$. Vado quindi a sostituire $z$ nelle condizioni ed ottengo:
$1<=rhocosphi<=$\(\displaystyle \surd2 \) da cui sostituendo $rho$ ottengo
$1<=2cosphi<=$\(\displaystyle \surd2 \) e quindi
$1/2<=cosphi<=$\(\displaystyle (\surd2)/2 \)
Quindi ottengo che $pi/3<=phi<=pi/4$
Adesso se non ho sbagliato queste limitazioni posso sostituire tutto nell'integrale di partenza, moltiplicare per il determinante jacobiano e risolvere:
$ int_(0)^(2) int_(0)^(2pi) int_(pi/3)^(pi/4)(rho^3costhetasen^2phi+rho^3senphicosphi ) drho d theta dphi $
La prima parte risulta essere uguale a zero.. quindi mi calcolo solo la seconda ma il risultato è sbagliato. Dovrebbe risultare $5/4pi$ invece a me risultano quattro radici diverse!
Sapere indicarmi dove sbaglio?
Grazie
Ciaoo
Vorrei chiedervi una conferma sullo svolgimento del seguente esercizio riguardante gli integrali tripli.
Testo: Calcolare l'integrale triplo:
$int int int (x+z) dxdydz$
dove
$x^2+y^2+z^2<=4$ , $1<=z<=$\(\displaystyle \surd2 \)
Soluzione. Passo subito alle coordinate polari quindi:
$ { ( x=rhocosthetasenphi ),( y=rhosenthetasenphi ),( z=rhocosphi ):} $
Adesso devo calcolarmi le limitazioni di $rho, theta$ e $phi$. Riesco già a calcolare che: $0<=theta<=2pi$ e $0<=rho<=2$
Mi manca di ricavare $phi$. Vado quindi a sostituire $z$ nelle condizioni ed ottengo:
$1<=rhocosphi<=$\(\displaystyle \surd2 \) da cui sostituendo $rho$ ottengo
$1<=2cosphi<=$\(\displaystyle \surd2 \) e quindi
$1/2<=cosphi<=$\(\displaystyle (\surd2)/2 \)
Quindi ottengo che $pi/3<=phi<=pi/4$
Adesso se non ho sbagliato queste limitazioni posso sostituire tutto nell'integrale di partenza, moltiplicare per il determinante jacobiano e risolvere:
$ int_(0)^(2) int_(0)^(2pi) int_(pi/3)^(pi/4)(rho^3costhetasen^2phi+rho^3senphicosphi ) drho d theta dphi $
La prima parte risulta essere uguale a zero.. quindi mi calcolo solo la seconda ma il risultato è sbagliato. Dovrebbe risultare $5/4pi$ invece a me risultano quattro radici diverse!
Sapere indicarmi dove sbaglio?
Grazie
Ciaoo
Risposte
Ciao!
Grazie mille per lo svolgimento. In effetti con questo metodo risulta molto più semplice il calcolo dell'integrale. Infatti con il mio metodo avevo qualche dubbio su quel passaggio per ricavare la $phi$
Una sola cosa non ho ben capito. Quando calcolo l'integrale triplo posso utilizzare sia le coordinate sferiche che quelle cilindriche. Quindi i due metodi sono del tutto equivalenti giusto?
Perchè nella teoria avevo letto che le coordinate sferiche si utilizzavano quando il mio dominio è nella forma: $x^2+y^2+z^2=r^2$, mentre quelle cilindriche quando siamo in presenza di circonferenze.
Grazie
Ciaoo
Grazie mille per lo svolgimento. In effetti con questo metodo risulta molto più semplice il calcolo dell'integrale. Infatti con il mio metodo avevo qualche dubbio su quel passaggio per ricavare la $phi$
Una sola cosa non ho ben capito. Quando calcolo l'integrale triplo posso utilizzare sia le coordinate sferiche che quelle cilindriche. Quindi i due metodi sono del tutto equivalenti giusto?
Perchè nella teoria avevo letto che le coordinate sferiche si utilizzavano quando il mio dominio è nella forma: $x^2+y^2+z^2=r^2$, mentre quelle cilindriche quando siamo in presenza di circonferenze.
Grazie
Ciaoo
Ciao!
Perfetto grazie mille
Perfetto grazie mille
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