Integrale triplo con valori assoluti

[mIRChele]

Salve a tutti, ho questo esercizio:
Calcolare l'integrale triplo
$\int int int_E (|x|+|y|) dxdy$
dove $E$ è il solido ottenuto dall'intersezione del cono $z^2>=x^2+y^2, z>=0$ e del paraboloide $x^2+y^2<=8-2z$

Io faccio in questo modo:
poichè per quanto riguarda il cono ci interessa solo la parte per $z>0$, otteniamo
$z>=sqrt(x^2+y^2)$
mentre isolando $z$ nell'equazione del paraboloide otteniamo
$z<=-x^2/2-y^2/2+4$
Inoltre noto che sono entrambi solidi di rotazione sull'asse $y$, quindi posso considerare
$T':y=0; T'={(x,y)inRR:sqrt(x^2)<=z<=-x^2/2+4}$
Mettendo a sistema le due equazioni con la $y$ annullata, ottengo
${(z=x),(x=-4 vv x=2):}$
poichè $z>=0$ scarto il valore negativo e ottengo $z=x=2$
Posso ora utilizzare le coordinate cilindriche
${(x=\rho cos\theta),(y=\rho sin\theta), (z=z):}$
Da qui deduco che $\rho=2$, poichè ho visto che $x=2$, e $cos\theta$ può dare al massimo un contributo unitario.
Inoltre porto anche l'intervallo di $z$ in coordinate cilindriche ottenendo $\rho<=z<=4-\rho^2/2$
L'integrale dunque diventa
$\int_0^(2pi) int_0^2 int_\rho^(4-\rho^2/2) \rho(|\rho cos\theta|+|\rho sin\theta|) d\thetad\rhodz$
Facendo lo studio dei due valori assoluti scompongo l'integrale in 4 sottointegrali (uno per ogni quadrante), ottenendo
$\int_0^(pi/2) int_0^2 int_\rho^(4-\rho^2/2) \rho^2(cos\theta + sin\theta) d\thetad\rhodz + \int_(pi/2)^(pi) int_0^2 int_\rho^(4-\rho^2/2) \rho^2(-cos\theta + sin\theta) d\thetad\rhodz + \int_(pi)^(3/2pi) int_0^2 int_\rho^(4-\rho^2/2) \rho^2(-cos\theta - sin\theta) d\thetad\rhodz + \int_(3/2pi)^(2pi) int_0^2 int_\rho^(4-\rho^2/2) \rho^2(cos\theta - sin\theta) d\thetad\rhodz$
il problema è che, dopo questo punto, svolgendo gli integrali mi escono tutti $0$...quindi qualche parte del mio ragionamento è errata. Chi lo sa risolvere nel modo giusto?

[mIRChele]

giustissimo, hai ragione... per qualche strano motivo mi ero completamente dimenticato di dover integrare i due termini all'interno, calcolavo direttamente il coseno e il seno fra in quell'intervallo e mi usciva zero... un errore così stupido può costare caro! Grazie mille per la risposta rapida, l'importante è sapere di aver impostato correttamente l'esercizio!

[asker993]

ciao, vorrei chiedere riguardo a come avete trovato $p$, io ho ragionato in questo modo: dato che $sqrt(x^2+y^2)<=z<=-x^2/2-y^2/2+4$ ho provato a fare un grafico bidimensionale imponendo $x^2+y^2=p^2$ e studiare l'intersezione tra il paraboloide e il cono e, ho notato che abbiamo sull'asse $z$ la "pancia" della parabola rivolta verso il basso al valore $z=4$, abbiamo poi una retta (che sarebbe poi il piano $z>=p$) che interseca la parabola, ora, analizzando questo grafico ho visto che l'insieme è compreso tra la retta e la parabola e, per $z=0$ abbiamo che $p$ è massimo, dunque ho pensato che il dominio di integrazione di $f(p,theta)$ fosse $p

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