Integrale triplo con coordinate sferiche

[ironrinox9]

Buona sera ragazzi, sto riscontrando alcune difficoltà nella risoluzione del seguente integrale:
$ int int int_(T)^() log (x^2+y^2+1) dx dy dz $
$ T={(x,y,z) : x^2+y^2+z^2<=1, x^2+y^2<=z^2} $

Io inizialmente sono passato in coordinate sferiche:
$ x=rhosinthetacosphi, y=rhosinthetasinphi, z=rhocostheta $
In questo modo mi sono ricondotto all'integrale:
$ int_(0)^(2pi) int_(-pi/4)^(pi/4) int_(0)^(1) log(rho^2sin^2theta+1)*rho^2sintheta drho d theta dphi $
A questo punto non so come procedere, avrei bisogno di qualche spunto...
Grazie mille in anticipo!

[Mephlip]

Non ho fatto i conti, ma quella funzione integranda non sembra bellissima; sembra portare a molti conti integrando per parti. Personalmente ti consiglio il passaggio in coordinate cilindriche con asse parallelo all'asse $z$.
Forse anche sfruttare le simmetrie e integrare per sezioni potrebbe essere meglio.

[ironrinox9]

Ho provato con le coordinate cilindriche, ma niente da fare, viene un integrale complicatissimo! Mi potresti spiegare per favore come integrare per sezioni in questo caso?

[marco.ve1]

Se integri distinguendo i casi $0

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[ironrinox9]

Perfetto, quindi se non ho capito male, integrando per strati, prima trovo il dominio di z, che sarà l'integrale più esterno, e poi trovo il dominio dell'integrale doppio più interno (o procedendo normalmente oppure tramite coordinate cilindriche, giusto?) e svolgo prima quest'ultimo per poi integrare fra 0 e 1 o come hai scritto tu spezzando in due l'integrale. Posso chiederti come mai conviene spezzare in due l'integrale? Ho notato che quell'1/rad(2) che hai scritto si trova intersecando le due curve che fornisce il testo, però non capisco il ragionamento che ci sta dietro. Grazie mille per l'aiuto!