Integrale triplo con 4 disequazioni come dominio

[turihomers-votailprof]

Salve a tutti vi propongo l'ultima trovata del prof nell ultimo compito....voi lo sapresti risolvere? O___o


$ int int int_(T)^()(x^2 + y^2) dx dy dz $ essendo T= $ ((x,y,z) in R^3 : x^2 + y^2 -1 <= 0 , x^2 + y^2 -y >= 0 , x^2 + y^2 +y >= 0 , z^2 - z <=0 ) $

[gugo82]

Noi sì.

Tu invece?

[turihomers-votailprof]

No io no se no non lo avrei postato! cioè ho provato a farlo durante il compito ma molto probabilmente ho combinato una casino...

Vi potrei dire il procedimento che ho usato cosi potete dirmi gli errori... Non so...

[gugo82]

Certo che vogliamo sapere come hai svolto l'esercizio: leggi qui.
Anche perchè in questo modo capiamo dove sbagli (se hai sbagliato) e ti possiamo correggere.

[turihomers-votailprof]

risolvo la quarta disequazione al fine di trovare il valore di z

$ z^2 - z<= 0 $ e trovo $ 0<=z<=1 $

pertando posso scrivere (chiaritemi come si chiama questo metodo di integrazione)

$ int_(0)^(1) dz int int_(D)^() (x^2 + y^2) dx dxy $

$ ove D =((x,y) in R^2 : 0<= x^2 + y^2 <=1) $

( l'insieme D è ricavato dalle prime 3 relazioni del dominio)

e quindi passando in coordinate polari mi viene $ 0<= p <= 1 e 0<= theta <= 2pi$

quindi in definitiva

$ int_(0)^(1) dz int_(0)^(1) p^3 dp int_(0)^(2pi) d theta $

i calcoli li ometto essendo banali...

[gugo82]

Intanto comincia a disegnare il dominio... Se non fai questo passaggio cosa ne sai che conviene usare le coordinate polari (e non le coordinate cilindriche, ad esempio)?

Inoltre, noto che la prima disuguaglianza, ossia [tex]$x^2+y^2\geq 0$[/tex] è sempre vera: quindi o manca qualcosa nel testo, o è uno specchietto per le allodole.

[turihomers-votailprof]

scusami sono un idiota avevo sbagliato le disequazioni del dominio...controlla adesso...scusa è a scrivere le formule mi viene troppo male..

[gugo82]

Impara il MathML.

Ad ogni modo, il disegno l'hai fatto? E quali conclusioni ne hai tratto?

[turihomers-votailprof]

dovrebbe venire una circonferenza di raggio 1 con centro nell origine in cui all'interno sono poste due circonferenze di il cui centro ha coordinate $C'(1/2,0) e C''(-1/2,0) $ di raggio 1/2 entrambe....e devo considerare la parte interna alla circonferenza più grande ed esterna a quelle più piccole.....è giusto?

[gugo82]

No che non è giusto... Sei in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex], mica nel piano.

[turihomers-votailprof]

ah beh allora sono sicuramente un cilindro di raggio 1...e poi gli altri due dovrebbero essere due paroboloidi però non capisco quale sia la differenza tra i 2....uno ha la y negativa e l altro positiva...ma cosa cambia che uno è rivolto verso l alto e l altro verso il basso??

[gugo82]

Ma non sono paraboloidi... Sempre cilindri sono.

[turihomers-votailprof]

sono paraboloidi quando c'è solo la z di primo grado? quindi è lo stesso disegno che avevo fatto nel piano colo che le circonferenze sono cilindri?

[gugo82]

Ma non tirare ad indovinare... Fai due conticini.
Infatti [tex]$x^2+y^2\pm y =x^2+(y\pm \tfrac{1}{2})^2-\tfrac{1}{4}$[/tex]...

Ad ogni modo, il tuo dominio è formato dalla parte interna al cilindro [tex]$x^2+y^2= 1$[/tex] ed esterna ai due cilindretti [tex]$x^2+(y\pm \tfrac{1}{2})= \tfrac{1}{4}$[/tex] compresa tra i piani [tex]$z=0$[/tex] e [tex]$z=1$[/tex].

[turihomers-votailprof]

"gugo82":
Ad ogni modo, il tuo dominio è formato dalla parte interna al cilindro [tex]$x^2+y^2= 1$[/tex] ed esterna ai due cilindretti [tex]$x^2+(y\pm \tfrac{1}{2})= \tfrac{1}{4}$[/tex] compresa tra i piani [tex]$z=0$[/tex] e [tex]$z=1$[/tex].

era proprio quello che intendevo io =) cmq e da questo cosa posso dedurre? (tenendo come riferimento l esercizio svolto nel primo post)