Integrale triplo - Asse rotazione e svolgimento
Sto cercando di capire gli integrali tripli, ma ho ancora problemi a determinare l'asse di rotazione... In più in un esercizio mi si pone un ulteriore problema riguardo gli estremi... Provo a spiegare:
Sia $ B = {(x,y,z) : x^2 + y^2 / 25 -9 <= z <= sqrt(x^2 + y^2 / 25)}$ e $f \epsilon C(B;R)$. Determinare $a,b \epsilon R$ con $a
$int int int_B f(x,y,z) dx dy dz = int_a^b (int int_(B(z)) f(x,y,z) dx dy) dz$
Come intuisco se non è segnalato che l'asse z è di rotazione??? Almeno io penso sia di rotazione, visto che è l'unico dipendente dagli altri, oppure l'unico che in un ipotetico cambiamento di variabili io lascerei intatto???
E come procedo in questo caso??? Gli estremi a,b sono gli estremi di z, ma non sono già in chiaro direttamente nella traccia d'esercizio?
Non avendo la soluzione, non posso verificare la correttezza da solo...
Sia $ B = {(x,y,z) : x^2 + y^2 / 25 -9 <= z <= sqrt(x^2 + y^2 / 25)}$ e $f \epsilon C(B;R)$. Determinare $a,b \epsilon R$ con $a
$int int int_B f(x,y,z) dx dy dz = int_a^b (int int_(B(z)) f(x,y,z) dx dy) dz$
Come intuisco se non è segnalato che l'asse z è di rotazione??? Almeno io penso sia di rotazione, visto che è l'unico dipendente dagli altri, oppure l'unico che in un ipotetico cambiamento di variabili io lascerei intatto???
E come procedo in questo caso??? Gli estremi a,b sono gli estremi di z, ma non sono già in chiaro direttamente nella traccia d'esercizio?
Non avendo la soluzione, non posso verificare la correttezza da solo...
Risposte
Up 
Up...
Up...
ps:doveva esserci una risposta che poi è sparita....
ps:doveva esserci una risposta che poi è sparita....
Up...
Onestamente, sarei in grado di suggerirti solamente la prima parte, ovvero $\int\int\int_(B) f(x,y,z)dxdydz$, ma la richiesta $B(z) sub RR^2$ non mi è particolarmente chiara...
Aspetterei qualcuno più preparato
Aspetterei qualcuno più preparato
Il testo è proprio così, l'ho ricontrollato...
Up...
Up... Questo è un esercizio di Obrecht, ecco perchè non si risolve
Provo ma non ne sono assolutamente sicuro.
Innanzitutto hai due solidi dati da equazioni:
$z=x^2+y^2/25-9$ e $z=sqrt(x^2+y^2/25)$
Per trovare la superficie di intersezione:
$\{(x^2+y^2/25=z+9),(x^2+y^2/25=z^2):}$
Tale sistema risulta verificato per i seguenti valori di z: $z_(1,2)=(1+-sqrt(37))/2$.
Supponiamo di considerare la parte del solido contenuta nel semipiano tale che $z>=0$. Risulterà quindi ragionevole scartare la soluzione negativa e considerare il valore: $z=(1+sqrt(37))/2$.
Si ottiene quindi che la proiezione sul piano $z=0$, data dall'intersezione dei due solidi, risulta avere equazione:
$x^2+y^2/25=(19+sqrt(37))/2$, da cui dividento ambo i membri per $(19+sqrt(37))/2$ si ottiene l'ellisse di equazione:
$x^2/[(19+sqrt(37))/2]+y^2/[25/2(19+sqrt(37))]=1$
L'ellisse (grazie a Dio) ha centro nell'origine.
A questo punto un'idea potrebbe essere quella di procedere così: posto
$(19+sqrt(37))/2=a^2$ e $25/2(19+sqrt(37))=b^2$, si ottiene $a=sqrt[(19+sqrt(37))/2]$ e $b=5sqrt[(19+sqrt(37))/2]$.
Ora ponendo: $sqrt[(19+sqrt(37))/2]=\alpha$ possiamo dire che $a=\alpha$ e $b=5\alpha$.
A questo punto una parametrizzazione per l'ellisse in coordinate cilindriche potrebbe essere la seguente:
$\{(x=\alpha\rhocos\theta),(y=5\alpha\rhosin\theta),(z=z):}$ da cui il Jacobiano $|J|=5\alpha^2\rho$.
Trasformando anche i due solidi di partenza in coordinate cilindriche, integrando su $\theta$, $\rho$ e $z$:
$\int_0^(2\pi)d\theta\int_0^1d\rho\int_(\alpha^2\rho^2-9)^(\alpha\rho)5\alpha^2\rhodz$
Svolgendo i calcoli ottieni, se non ho fatto errori, $10\pi\alpha^2(\alpha/3-\alpha^2/4+9/2)$. Sta a te sostituire.
Nota che $a$ e $b$ che ho usato io per descrivere l'equazione dell'ellisse non sono gli $a$ e $b$ richiesti dal tuo esercizio.
Possiamo conlcludere quindi che la superficie $B\in RR^2$ tale che sia soddisfatta l'uguaglianza:
$\int int int_Bf(x,y,z)dxdydz=\int_a^b\int int_(B(z)) f(x,y,z) dxdydz$
sarà l'ellisse di equazione $x^2/\alpha^2+y^2/(25\alpha^2)=1$,
mentre i valori $a$ e $b$ che cerchi li puoi ottenere invertendo le coordinate, cioè passando alle coordinate cartesiane a partire dalla parametrizzazione dell'ellisse.
P.S. Secondo me il calcolo esplicito dell'integrale non serve per arrivare alla soluzione: l'ho scritto per formalità.
Innanzitutto hai due solidi dati da equazioni:
$z=x^2+y^2/25-9$ e $z=sqrt(x^2+y^2/25)$
Per trovare la superficie di intersezione:
$\{(x^2+y^2/25=z+9),(x^2+y^2/25=z^2):}$
Tale sistema risulta verificato per i seguenti valori di z: $z_(1,2)=(1+-sqrt(37))/2$.
Supponiamo di considerare la parte del solido contenuta nel semipiano tale che $z>=0$. Risulterà quindi ragionevole scartare la soluzione negativa e considerare il valore: $z=(1+sqrt(37))/2$.
Si ottiene quindi che la proiezione sul piano $z=0$, data dall'intersezione dei due solidi, risulta avere equazione:
$x^2+y^2/25=(19+sqrt(37))/2$, da cui dividento ambo i membri per $(19+sqrt(37))/2$ si ottiene l'ellisse di equazione:
$x^2/[(19+sqrt(37))/2]+y^2/[25/2(19+sqrt(37))]=1$
L'ellisse (grazie a Dio) ha centro nell'origine.
A questo punto un'idea potrebbe essere quella di procedere così: posto
$(19+sqrt(37))/2=a^2$ e $25/2(19+sqrt(37))=b^2$, si ottiene $a=sqrt[(19+sqrt(37))/2]$ e $b=5sqrt[(19+sqrt(37))/2]$.
Ora ponendo: $sqrt[(19+sqrt(37))/2]=\alpha$ possiamo dire che $a=\alpha$ e $b=5\alpha$.
A questo punto una parametrizzazione per l'ellisse in coordinate cilindriche potrebbe essere la seguente:
$\{(x=\alpha\rhocos\theta),(y=5\alpha\rhosin\theta),(z=z):}$ da cui il Jacobiano $|J|=5\alpha^2\rho$.
Trasformando anche i due solidi di partenza in coordinate cilindriche, integrando su $\theta$, $\rho$ e $z$:
$\int_0^(2\pi)d\theta\int_0^1d\rho\int_(\alpha^2\rho^2-9)^(\alpha\rho)5\alpha^2\rhodz$
Svolgendo i calcoli ottieni, se non ho fatto errori, $10\pi\alpha^2(\alpha/3-\alpha^2/4+9/2)$. Sta a te sostituire.
Nota che $a$ e $b$ che ho usato io per descrivere l'equazione dell'ellisse non sono gli $a$ e $b$ richiesti dal tuo esercizio.
Possiamo conlcludere quindi che la superficie $B\in RR^2$ tale che sia soddisfatta l'uguaglianza:
$\int int int_Bf(x,y,z)dxdydz=\int_a^b\int int_(B(z)) f(x,y,z) dxdydz$
sarà l'ellisse di equazione $x^2/\alpha^2+y^2/(25\alpha^2)=1$,
mentre i valori $a$ e $b$ che cerchi li puoi ottenere invertendo le coordinate, cioè passando alle coordinate cartesiane a partire dalla parametrizzazione dell'ellisse.
P.S. Secondo me il calcolo esplicito dell'integrale non serve per arrivare alla soluzione: l'ho scritto per formalità.
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