Integrale triplo Analisi2
Salve, sto riscontrando dei problemi a risolvere questo integrale di analisi 2, qualcuno potrebbe aiutarmi?
$ int int int_(T) dx dy dz , $
dove T è il solido limitato dalla superficie del paraboloide $ z = ax² +by² $ e dal piano $ z = k $ , dove $ a; b; k > 0 $
In attesa di un vostro feedback, vi ringrazio molto
$ int int int_(T) dx dy dz , $
dove T è il solido limitato dalla superficie del paraboloide $ z = ax² +by² $ e dal piano $ z = k $ , dove $ a; b; k > 0 $
In attesa di un vostro feedback, vi ringrazio molto
Risposte
Ciao crovina,
Benvenuto sul forum!
Direi che per trovare le limitazioni per $x $ e $y $ (per $z$ sai già che $0 < z <= k $) devi ragionare un po' sull'equazione $ax^2 + by^2 = k > 0 $, per esempio trovando le limitazioni per $y$ osservando che si ha:
$ by^2 = k - a x^2 $
$ y = \pm \sqrt{(k - ax^2)/b} $
Ora, dato che ovviamente quanto compare sotto radice quadrata deve essere positivo o al più nullo e per ipotesi sai che $b > 0 $, allora giocoforza deve essere $k - ax^2 >= 0 \iff - \sqrt{k/a} <= x <= \sqrt{k/a} $ (ricordando che per ipotesi $a > 0 $). Ora dovresti essere in grado di concludere autonomamente...
Benvenuto sul forum!
Direi che per trovare le limitazioni per $x $ e $y $ (per $z$ sai già che $0 < z <= k $) devi ragionare un po' sull'equazione $ax^2 + by^2 = k > 0 $, per esempio trovando le limitazioni per $y$ osservando che si ha:
$ by^2 = k - a x^2 $
$ y = \pm \sqrt{(k - ax^2)/b} $
Ora, dato che ovviamente quanto compare sotto radice quadrata deve essere positivo o al più nullo e per ipotesi sai che $b > 0 $, allora giocoforza deve essere $k - ax^2 >= 0 \iff - \sqrt{k/a} <= x <= \sqrt{k/a} $ (ricordando che per ipotesi $a > 0 $). Ora dovresti essere in grado di concludere autonomamente...
Io passerei alle polari:
$ { ( x=(rhocos(theta)) /sqrt(a)),( y=(rhosin(theta)) /sqrt(b) ):} $
Lo jacobiano è $rho/sqrt(ab)$
$0<=z<=k$
$0<=rho<=sqrt(z)$
$0<=theta<=2pi$
E il risultato dovrebbe venire $(k^2pi)/(2sqrt(ab))$
$ { ( x=(rhocos(theta)) /sqrt(a)),( y=(rhosin(theta)) /sqrt(b) ):} $
Lo jacobiano è $rho/sqrt(ab)$
$0<=z<=k$
$0<=rho<=sqrt(z)$
$0<=theta<=2pi$
E il risultato dovrebbe venire $(k^2pi)/(2sqrt(ab))$
Grazie tante per le risposte
Alla fine l'ho risolto così: essendo z una costante, allora la sezione del paraboloide $ ax^2+by^2=k $ è ellittica, quindi ricordando la formula dell'area dell'ellisse che in questo caso ho scritto come $ [ x^2/(z/a)+y^2/(z/b)]=1 $
e le condizioni $ ax^2+by^2<=z<=k $
calcolo l'integrale
$ int int int_(T) dx dy dz =int_(0)^(k) [int int_(Tz) dx dy] dz $
dove Tz è l'area dell'ellisse, quindi ho
$ int_(0) ^ (k) pi sqrt(z/a)sqrt(z/b) dz = int_(0)^(k) (piz)/(sqrt(ab)) dz = (pi k^2)/(2sqrt(ab)) $
spero che sia giusto.
Alla fine l'ho risolto così: essendo z una costante, allora la sezione del paraboloide $ ax^2+by^2=k $ è ellittica, quindi ricordando la formula dell'area dell'ellisse che in questo caso ho scritto come $ [ x^2/(z/a)+y^2/(z/b)]=1 $
e le condizioni $ ax^2+by^2<=z<=k $
calcolo l'integrale
$ int int int_(T) dx dy dz =int_(0)^(k) [int int_(Tz) dx dy] dz $
dove Tz è l'area dell'ellisse, quindi ho
$ int_(0) ^ (k) pi sqrt(z/a)sqrt(z/b) dz = int_(0)^(k) (piz)/(sqrt(ab)) dz = (pi k^2)/(2sqrt(ab)) $
spero che sia giusto.
@Bokonon: del risultato che hai scritto non mi torna solo quel $2$ a denominatore:
$\int \int \int_T \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int_0^k \text{d}z \int_{- sqrt{k/a}}^{sqrt{k/a}} (\int_{- sqrt{(k - ax^2)/b}}^{sqrt{(k - ax^2)/b}} \text{d}y ) \text{d}x = (2k)/sqrt(b) \int_{- sqrt{k/a}}^{sqrt{k/a}} sqrt{k - ax^2}\text{d}x = $
$ = k/sqrt(b) [x \sqrt(k - a x^2) + (k arctan((sqrt(a) x)/sqrt(k - a x^2)))/sqrt(a)]_{- sqrt{k/a}}^{sqrt{k/a}} = k/sqrt(b) [(k \pi/2)/sqrt(a) + (k \pi/2)/sqrt(a)] = (k^2 \pi)/sqrt{ab}$
$\int \int \int_T \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int_0^k \text{d}z \int_{- sqrt{k/a}}^{sqrt{k/a}} (\int_{- sqrt{(k - ax^2)/b}}^{sqrt{(k - ax^2)/b}} \text{d}y ) \text{d}x = (2k)/sqrt(b) \int_{- sqrt{k/a}}^{sqrt{k/a}} sqrt{k - ax^2}\text{d}x = $
$ = k/sqrt(b) [x \sqrt(k - a x^2) + (k arctan((sqrt(a) x)/sqrt(k - a x^2)))/sqrt(a)]_{- sqrt{k/a}}^{sqrt{k/a}} = k/sqrt(b) [(k \pi/2)/sqrt(a) + (k \pi/2)/sqrt(a)] = (k^2 \pi)/sqrt{ab}$
"pilloeffe":
@Bokonon: del risultato che hai scritto non mi torna solo quel $2$ a denominatore
Era probabile, visto che l'ho fatto a mente...ma ora ho scritto una riga e:
$int_0^(2pi) int_0^k int_0^sqrt(z) r/sqrt(ab)drdzd theta=(2pi)/sqrt(ab)int_0^k int_0^sqrt(z) rdrdz=pi/sqrt(ab)int_0^k z dz=(k^2pi)/(2sqrt(ab))$
A quest'ora non ho davvero voglia di controllare la tua soluzione (perdonami) ma non vedo come possa essere errato un integrale più semplice.
Domani ci penserò su.
Per fare una verifica veloce del risultato:
uno strato del solido e' un ellisse di semiassi $sqrt(z/a)$ e $sqrt(z/b)$.
L'area e' quindi $\pi z / sqrt (ab)$.
Integrando la $z$ da $0 $ a $k $ si ottiene ${\pi k^2} / {2 sqrt (ab)}$.
uno strato del solido e' un ellisse di semiassi $sqrt(z/a)$ e $sqrt(z/b)$.
L'area e' quindi $\pi z / sqrt (ab)$.
Integrando la $z$ da $0 $ a $k $ si ottiene ${\pi k^2} / {2 sqrt (ab)}$.
"pilloeffe":
@Bokonon: del risultato che hai scritto non mi torna solo quel $2$ a denominatore:
$\int \int \int_T \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int_0^k \text{d}z \int_{- sqrt{k/a}}^{sqrt{k/a}} (\int_{- sqrt{(k - ax^2)/b}}^{sqrt{(k - ax^2)/b}} \text{d}y ) \text{d}x = (2k)/sqrt(b) \int_{- sqrt{k/a}}^{sqrt{k/a}} sqrt{k - ax^2}\text{d}x = $
$ = k/sqrt(b) [x \sqrt(k - a x^2) + (k arctan((sqrt(a) x)/sqrt(k - a x^2)))/sqrt(a)]_{- sqrt{k/a}}^{sqrt{k/a}} = k/sqrt(b) [(k \pi/2)/sqrt(a) + (k \pi/2)/sqrt(a)] = (k^2 \pi)/sqrt{ab}$
A destra del primo "uguale" non puoi separare l'integrale in $z$. Inoltre negli altri integrali al posto di $k$ devi mettere $z$, e quindi l'integrale in $z$ non e' separabile. Cosi':
$\int \int \int_T \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int_0^k \int_{- sqrt{z/a}}^{sqrt{z/a}} \int_{- sqrt{(z - ax^2)/b}}^{sqrt{(z - ax^2)/b}} \text{d}y \text{d}x \text{d}z $
Inoltre mi sembra che l'integrale di $sqrt(1-x^2)$ sia questa roba qui:
$(\arcsin(x)+\sqrt(1-x)*x*\sqrt(x+1))/2$
Ciao Quinzio,
Grazie per la correzione. Sì, mi ero reso conto che dovevano aver ragione Bokonon ed anche crovina, se non altro perché tutta la letteratura dà ragione a loro, quindi per forza l'errore doveva essere da parte mia...
Purtroppo mi è anche mancato il tempo di correggerlo, me ne scuso con gli interessati e lo faccio ora:
$\int \int \int_T \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int_0^k \int_{- sqrt{z/a}}^{sqrt{z/a}} \int_{- sqrt{(z - ax^2)/b}}^{sqrt{(z - ax^2)/b}} \text{d}y \text{d}x \text{d}z = 2/sqrt(b) \int_0^k \int_{- sqrt{z/a}}^{sqrt{z/a}} sqrt{z - ax^2}\text{d}x \text{d}z = $
$ = 1/sqrt(b) \int_0^k [x sqrt(z - a x^2) + (z arctan((sqrt(a) x)/sqrt(z - a x^2)))/sqrt(a)]_{- sqrt{z/a}}^{sqrt{z/a}} \text{d}z = 1/sqrt(b) \int_0^k [(z \pi/2)/sqrt(a) + (z \pi/2)/sqrt(a)] \text{d}z = $
$ = (\pi)/sqrt{ab} \int_0^k z \text{d}z = (\pi)/sqrt{ab} [z^2/2]_0^k = (k^2 \pi)/(2 sqrt{ab}) $
Grazie per la correzione. Sì, mi ero reso conto che dovevano aver ragione Bokonon ed anche crovina, se non altro perché tutta la letteratura dà ragione a loro, quindi per forza l'errore doveva essere da parte mia...
Purtroppo mi è anche mancato il tempo di correggerlo, me ne scuso con gli interessati e lo faccio ora:
$\int \int \int_T \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int_0^k \int_{- sqrt{z/a}}^{sqrt{z/a}} \int_{- sqrt{(z - ax^2)/b}}^{sqrt{(z - ax^2)/b}} \text{d}y \text{d}x \text{d}z = 2/sqrt(b) \int_0^k \int_{- sqrt{z/a}}^{sqrt{z/a}} sqrt{z - ax^2}\text{d}x \text{d}z = $
$ = 1/sqrt(b) \int_0^k [x sqrt(z - a x^2) + (z arctan((sqrt(a) x)/sqrt(z - a x^2)))/sqrt(a)]_{- sqrt{z/a}}^{sqrt{z/a}} \text{d}z = 1/sqrt(b) \int_0^k [(z \pi/2)/sqrt(a) + (z \pi/2)/sqrt(a)] \text{d}z = $
$ = (\pi)/sqrt{ab} \int_0^k z \text{d}z = (\pi)/sqrt{ab} [z^2/2]_0^k = (k^2 \pi)/(2 sqrt{ab}) $
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