Integrale triplo

[delbi]

ho questo esercizio che mi sta dando un pò di problemi:
"Sia
$E={(x,y,z,) \in\mathbb{R}^3 : x^2+2y^2<=log(z) , 1<=z<=e}$
calcolare volume e baricentro di $E$"

I miei dubbi sono su come determinare gli estremi di integrazione...anche perchè graficamente non riesco a visualizzare l'insieme $E$...consigli?

[Rigel1]

Visualizza il dominio per strati, esattamente come è indicato.
Per ogni quota \(z\in [1, e]\) la sezione è un'ellisse.

[Macellaro]

Bè a guardarlo così, senza dover stare a fare il disegno io penserei subito ad una sostituzione con le coordinate cilindriche. Forse in questo modo ti viene più semplice da capire senza bisogno di visualizzare la figura. (Per il volume, facendo un rapido calcolo mi viene π, mentre per il baricentro così ad occhio [tex](0,0, \pi \frac {e^2+1}{4})[/tex], sono i risultati che hai?)

[Rigel1]

Stai attento che le sezioni sono ellissi, non cerchi.
L'area della sezione a quota $z$ dovrebbe valere \((\pi \log z) / \sqrt{2}\), dunque il volume dovrebbe valere \(\pi/\sqrt{2}\).

[delbi]

allora per il volume si mi viene $\pi$...il baricentro invece $(0,0,(e^2+1)/4)$...forse hai dimenticato di dividere per il volume nella formula del baricentro...
Già che ci sono posto un altro integrale...
"Sia $A={(y,z) \in\mathbb{R}^3 : 0<=y<=z\sqrt(1-z)}$. Sia $V_1$ il solido ottenuto facendo ruotare $A$ di $2\pi$ attorno all'asse $z$. Calcolare il volume di $V_1$ e il suo momento di inerzia rispetto all'origine"
Allora per il volume dovrei esserci...faccio guldino e mi viene $V_1=\pi/12$...giusto?
Per il momento di inerzia dovrei risolvere un integrale del tipo:
$\int_{V_1}(x^2+y^2+z^2)dxdydz$
ma ho qualche problema su come descrivere l'insieme del volume $V_1$ e quindi faccio fatica a trovare un metodo di integrazione....sicuramente devo applicare un cambio di coordinate ma non so se sono meglio le sferiche o le cilindriche...consigli?

edit
allora ho rifatto i conti e in effetti il volume è $\pi/\sqrt2$ e il baricentro è $(0,0,\sqrt2/4(e^2+1))$