Integrale triplo
Devo calcolare $ int_(E) 1/(1+y^2) dx dy dz $
con E={(x,y,z) : $ (x)^(2) + (z)^(2)
devo usare le coordinate polari?
con E={(x,y,z) : $ (x)^(2) + (z)^(2)
devo usare le coordinate polari?
Risposte
sto facendo queste cose anche io in questo periodo e quindi prima di darmi retta aspettiamo qualcuno più esperto.
comunque ho pensato di fare la seguente:
$ { ( x^2+z^2 < y ),( x^2+z^2 > 4y-4 ):} $
da cui segue
$ { ( 0 <= x^2+z^2 < y ),( x^2+z^2 > 4y-4 ):} $
poichè $ x^2+z^2 >= 0 $ sempre.
continuando allora otteniamo:
$ { ( 4y-4 < x^2+z^2 < y ),( 4y-4
$ { ( 4y-4 < x^2+z^2 < y ),( y<4/3 ) :} $
sapevamo inoltre (dal secondo sistema che ho scritto) che la y è positiva e dunque si ottiene:
$ { ( 4y-4 < x^2+z^2 < y ),( 0 <= y<4/3 ) :} $
da ora in poi penso che sai procedere. io avrei percorso questa strada!
comunque ho pensato di fare la seguente:
$ { ( x^2+z^2 < y ),( x^2+z^2 > 4y-4 ):} $
da cui segue
$ { ( 0 <= x^2+z^2 < y ),( x^2+z^2 > 4y-4 ):} $
poichè $ x^2+z^2 >= 0 $ sempre.
continuando allora otteniamo:
$ { ( 4y-4 < x^2+z^2 < y ),( 4y-4
$ { ( 4y-4 < x^2+z^2 < y ),( y<4/3 ) :} $
sapevamo inoltre (dal secondo sistema che ho scritto) che la y è positiva e dunque si ottiene:
$ { ( 4y-4 < x^2+z^2 < y ),( 0 <= y<4/3 ) :} $
da ora in poi penso che sai procedere. io avrei percorso questa strada!
Passando in cordinate cilindriche le cose diventano più semplici: poniamo
$x=\rho\cos\theta,\ y=y,\ z=\rho\sin\theta$
cosicché si abbia
$E'=\{\rho^2
Ovviamente $\theta\in[0,2\pi]$ mentre, dall'intersezione delle due parabole si trova l'intersezione (nel piano $yO\rho$ e tenendo conto che $\rho\ge 0$) $A({2\sqrt{3}}/3,4/3)$ e pertanto il dominio risulta dato dalle condizioni
$\theta\in[0,2\pi],\ \rho\in[0,{2\sqrt{3}}/3],\ \rho^2\le y\le {\rho^2}/4+1$
Pertanto
$\int_0^{2\pi}\int_0^{{2\sqrt{3}}/3}\int_{\rho^2}^{\rho^2/4+1} {\rho}/{1+y^2}\ dy\ d\rho\ d\theta=$
$=2\pi\int_{0}^{{2\sqrt{3}}/3}\rho[\arctan y]_{\rho^2}^{\rho^2/4+1}\ d\rho=$
$=2\pi\int_0^{{2\sqrt{3}}/3}[\rho\arctan(\rho^2/4+1)-\rho\arctan(\rho^2)]\ d\rho=$
$=2\pi[2\arctan(\rho^2/4+1)-1/2\arctan(\rho^2)]_0^{{2\sqrt{3}}/3}=$
$=2\pi[2\arctan(4/3)-1/2\arctan(4/3)-2\arctan(1)]=2\pi[3/2\arctan(4/3)-\pi/2]$
$x=\rho\cos\theta,\ y=y,\ z=\rho\sin\theta$
cosicché si abbia
$E'=\{\rho^2
Ovviamente $\theta\in[0,2\pi]$ mentre, dall'intersezione delle due parabole si trova l'intersezione (nel piano $yO\rho$ e tenendo conto che $\rho\ge 0$) $A({2\sqrt{3}}/3,4/3)$ e pertanto il dominio risulta dato dalle condizioni
$\theta\in[0,2\pi],\ \rho\in[0,{2\sqrt{3}}/3],\ \rho^2\le y\le {\rho^2}/4+1$
Pertanto
$\int_0^{2\pi}\int_0^{{2\sqrt{3}}/3}\int_{\rho^2}^{\rho^2/4+1} {\rho}/{1+y^2}\ dy\ d\rho\ d\theta=$
$=2\pi\int_{0}^{{2\sqrt{3}}/3}\rho[\arctan y]_{\rho^2}^{\rho^2/4+1}\ d\rho=$
$=2\pi\int_0^{{2\sqrt{3}}/3}[\rho\arctan(\rho^2/4+1)-\rho\arctan(\rho^2)]\ d\rho=$
$=2\pi[2\arctan(\rho^2/4+1)-1/2\arctan(\rho^2)]_0^{{2\sqrt{3}}/3}=$
$=2\pi[2\arctan(4/3)-1/2\arctan(4/3)-2\arctan(1)]=2\pi[3/2\arctan(4/3)-\pi/2]$
ma l'arctan non va integrata per parti?
Sì certo, errore mio: pensavo al fatto che $\rho$ fosse la derivata dell'argomento è non consideravo l'arcotangente.
Ripartiamo da qui: ponendo $t=\rho^2/4+1$ e $s=\rho^2$ si hanno gli integrali (in cui modifico anche gli estremi di integrazione
$2\pi[\int_1^{4/3} 2\arctan t\ dt-\int_0^{4/3} 1/2\arctan s\ ds]=$
$=2\pi\{[2t\arctan t]_1^{4/3}-2\int_1^{4/3} t/{1+t^2}\ dt-[1/2 t\arctan t]_0^{4/3}+1/2\int_0^{4/3} t/{1+t^2}\ dt\}=$
$=2\pi\{8/3\arctan (4/3)-\pi/2-[\log(1+t^2)]_1^{4/3}-2/3\arctan (4/3)+1/4[\log(1+t^2)]_0^{4/3}\}=$
$=2\pi\{2\arctan (4/3)-\pi/2-\log({25}/9)+\log 2+1/4\log({25}/9)\}=$
$=2\pi[2\arctan(4/3)-\pi/2+\log 2-3/2\log(5/3)]$
Se non ho fatto errori di calcolo.
"ciampax":
$=2\pi\int_0^{{2\sqrt{3}}/3}[\rho\arctan(\rho^2/4+1)-\rho\arctan(\rho^2)]\ d\rho=$
Ripartiamo da qui: ponendo $t=\rho^2/4+1$ e $s=\rho^2$ si hanno gli integrali (in cui modifico anche gli estremi di integrazione
$2\pi[\int_1^{4/3} 2\arctan t\ dt-\int_0^{4/3} 1/2\arctan s\ ds]=$
$=2\pi\{[2t\arctan t]_1^{4/3}-2\int_1^{4/3} t/{1+t^2}\ dt-[1/2 t\arctan t]_0^{4/3}+1/2\int_0^{4/3} t/{1+t^2}\ dt\}=$
$=2\pi\{8/3\arctan (4/3)-\pi/2-[\log(1+t^2)]_1^{4/3}-2/3\arctan (4/3)+1/4[\log(1+t^2)]_0^{4/3}\}=$
$=2\pi\{2\arctan (4/3)-\pi/2-\log({25}/9)+\log 2+1/4\log({25}/9)\}=$
$=2\pi[2\arctan(4/3)-\pi/2+\log 2-3/2\log(5/3)]$
Se non ho fatto errori di calcolo.
a me invece di 13/6 viene 2
Corretto.
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