Integrale triplo

[dennis87]

ho questo integrale, [tex]\int \int \int_{D} 2xdxdydz[/tex], io ho provato a risolverlo, potete dirmi se è fatto giusto?
ho usato le coordinate cilidriche
[tex]\left\{\begin{matrix}
x=\rho cos\theta\\
y=\rho sin\theta\\
z=z\\
\end{matrix}\right.[/tex] con determinante dello jacobiano [tex]\rho[/tex], e gli estremi di integrazione sono [tex]0\leq \theta \leq 2\pi[/tex], [tex]0 \leq \rho \leq 1[/tex], \[tex]0 \leq z \leq 2-x-y[/tex]
e quindi mi viene l'integrale [tex]\int_{0}^{2\pi} d\theta\int_{0}^{1} d\rho\int_{0}^{2-\rho}2\rho cos \theta \rho dz[/tex] e risolvendo mi viene [tex]\frac{5}{6}[/tex] è giusto?
grazie a tutti

[Gi81]

C'è qualcosa che non mi torna.
[tex]\rho:=\sqrt{x^2+y^2}[/tex], giusto? allora non puoi dire che [tex]0 \leq z\leq2-\rho[/tex]

Potresti scrivere come è fatto [tex]D[/tex]?

[dennis87]

scusa non ti ho definito l'insieme D, D:={[tex](x,y,z) \in R^3 | x^2+y^2 \leq 1, 0 \leq y \leq 2-x-y[/tex]}

[Gi81]

immagino che sia[tex]D:=\{(x,y,z) \in R^3 | x^2+y^2 \leq 1, 0 \leq z \leq 2-x-y\}[/tex]
Beh, allora va da sè che [tex]z[/tex] va integrato tra [tex]0[/tex] e [tex]2 - \rho\cos(\theta)- \rho\sin(\theta)[/tex]

[dennis87]

appunto quindi non viene [tex]2- \rho[/tex]???

[Gi81]

Direi proprio di no.
Non è vero che [tex]\cos(\theta)+\sin(\theta)=1[/tex]

La formula corretta è [tex]\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1[/tex]

[dennis87]

DOH!!!!!!è vero!!! e quindi è possibile che venga [tex]\int_{0}^{2\pi} d\theta\int_{0}^{1} d\rho\int_{0}^{2-\rho cos \theta -\rho sin \theta}2\rho cos \theta \rho dz[/tex]

[tex]\int_{0}^{2-\rho cos \theta -\rho sin \theta}2\rho cos \theta \rho dz=4\rho^2 cos \theta - 2\rho^3 cos^2 \theta -2 \rho^3 sin \theta cos \theta[/tex] poi questo lo integro fra 0 e 1 in [tex]\int _{0}^{1}4\rho^2 cos \theta - 2\rho^3 cos^2 \theta -2 \rho^3 sin \theta cos \theta d\rho=\frac{1}{3}cos \theta -\frac{1}{2}cos^2 \theta - \frac{1}{4}sin \theta cos \theta[/tex] e poi questo lo integro in [tex]\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{3}cos \theta -\frac{1}{2}cos^2 \theta - \frac{1}{4}sin \theta cos \theta d\theta[/tex] giusto?

[Gi81]

"dennis87": è possibile che venga [tex]\int_{0}^{2\pi} d\theta\int_{0}^{1} d\rho\int_{0}^{2-\rho cos \theta -\rho sin \theta}2\rho cos \theta \rho dz[/tex]

Sì

"dennis87":[tex]\int_{0}^{2-\rho cos \theta -\rho sin \theta}2\rho cos \theta \rho dz=4\rho^2 cos \theta - 2\rho^3 cos^2 \theta -2 \rho^3 sin \theta cos \theta[/tex]

No, non viene così.
Viene [tex]2\rho cos\theta(2-\rho cos \theta -\rho sin \theta)[/tex]

[dennis87]

ma scusa [tex]2 \rho cos \theta \rho[/tex] non viene [tex]2 \rho^2 cos \theta[/tex]? e quindi raccolgo [tex]2\rho^2 cos \theta[/tex] no?

[dennis87]

alla fine mi è venuto [tex]- \frac{1}{2} \pi[/tex]

[Gi81]

"dennis87":ma scusa [tex]2 \rho cos \theta \rho[/tex] non viene [tex]2 \rho^2 cos \theta[/tex]? e quindi raccolgo [tex]2\rho^2 cos \theta[/tex] no?

Giusto, non l'avevo visto.

"dennis87":alla fine mi è venuto [tex]- \frac{1}{2} \pi[/tex]

Non ho fatto i conti, ma i passaggi descritti prima mi sembrano corretti. Quindi se ci sono errori, sono errori di calcolo.
Ma non penso ce ne siano