Integrale Triplo
Salve, devo calcolare questo integrale [tex]$\iiint\limits_T |z-\frac{1}{2}|(x-1) \, dx\,dy\,dz$[/tex] dove [tex]$T=\left \{ (x,y,z) \in R^3 : x^2+y^2+z^2\le1, x^2+y^2+z^2\le2z \right \}$[/tex]
Ho deciso di usare le coordinate sferiche, sostistituisco quindi [tex]$x=\rho\cos\theta\sin\varphi$[/tex], [tex]$y=\rho\sin\theta\sin\varphi$[/tex], [tex]$z=\rho\cos\varphi$[/tex], e riscrivo l'integrale [tex]$\iiint\limits_{g^{-1}(T)} |\rho\cos\varphi-\frac{1}{2}|(\rho\cos\theta\sin\varphi-1)\rho^2\sin\varphi \, dx\,dy\,dz$[/tex],
poi devo trovare [tex]$g^{-1}(T)$[/tex] quindi da questa disequazione [tex]$ x^2+y^2+z^2\le1$[/tex] ottengo [tex]$0 \le \rho \le 1$[/tex], e adesso mi sono bloccato nell'altra disequazione, cioè non so se devo esprimere [tex]$\varphi$[/tex] in funzione di [tex]$\rho$[/tex] ottenendo [tex]$\varphi\ge\arccos{\frac{\rho}{2}}$[/tex] oppure considero [tex]$\rho = 1$[/tex] dato che è il massimo valore che può assumere e trovo [tex]$0\le\varphi\le\frac{\pi}{3}$[/tex]???
Ho deciso di usare le coordinate sferiche, sostistituisco quindi [tex]$x=\rho\cos\theta\sin\varphi$[/tex], [tex]$y=\rho\sin\theta\sin\varphi$[/tex], [tex]$z=\rho\cos\varphi$[/tex], e riscrivo l'integrale [tex]$\iiint\limits_{g^{-1}(T)} |\rho\cos\varphi-\frac{1}{2}|(\rho\cos\theta\sin\varphi-1)\rho^2\sin\varphi \, dx\,dy\,dz$[/tex],
poi devo trovare [tex]$g^{-1}(T)$[/tex] quindi da questa disequazione [tex]$ x^2+y^2+z^2\le1$[/tex] ottengo [tex]$0 \le \rho \le 1$[/tex], e adesso mi sono bloccato nell'altra disequazione, cioè non so se devo esprimere [tex]$\varphi$[/tex] in funzione di [tex]$\rho$[/tex] ottenendo [tex]$\varphi\ge\arccos{\frac{\rho}{2}}$[/tex] oppure considero [tex]$\rho = 1$[/tex] dato che è il massimo valore che può assumere e trovo [tex]$0\le\varphi\le\frac{\pi}{3}$[/tex]???
Risposte
Qualche suggerimento? 
Sono forse sbagliate le coordinate sferiche?
Perfavore datemi anche un piccolo consiglio... sto cominciando a pensare che ho sbagliato tutto...
Perfavore datemi anche un piccolo consiglio... sto cominciando a pensare che ho sbagliato tutto...
Ti dico subito che non ho fatto i conti.
Comunque, così a occhio farei un'integrazione per strati; sfruttando anche la simmetria della funzione integranda rispetto al piano $z=1/2$, dovrebbe venir fuori qualcosa del tipo
$2 \int_0^{1/2} (\int_{S(z)} (1/2-z) (x-1) dx dy)dz$
dove $S(z) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: (x,y,z)\in T\}$ è la sezione a quota $z$ del solido.
Comunque, così a occhio farei un'integrazione per strati; sfruttando anche la simmetria della funzione integranda rispetto al piano $z=1/2$, dovrebbe venir fuori qualcosa del tipo
$2 \int_0^{1/2} (\int_{S(z)} (1/2-z) (x-1) dx dy)dz$
dove $S(z) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: (x,y,z)\in T\}$ è la sezione a quota $z$ del solido.
Grazie Rigel, ho seguito il tuo consiglio, però sono pervenuto ad un risultato diverso, dopo aver scoperto che [tex]$0\le z\le 1$[/tex] scrivo l'integrale
[tex]$\int_0^{1} (\iint_{x^2+y^2\le \min(-z^2+1,-z^2+2z)} |z-\frac{1}{2}|(x-1)) dxdydz=\int_0^{1/2} (\iint_{x^2+y^2\le -z^2+2z} (\frac{1}{2}-z)(x-1)) dxdydz+\int_{1/2}^{1} (\iint_{x^2+y^2\le -z^2+1} (z-\frac{1}{2})(x-1)) dxdydz$[/tex]
E' corretto?
[tex]$\int_0^{1} (\iint_{x^2+y^2\le \min(-z^2+1,-z^2+2z)} |z-\frac{1}{2}|(x-1)) dxdydz=\int_0^{1/2} (\iint_{x^2+y^2\le -z^2+2z} (\frac{1}{2}-z)(x-1)) dxdydz+\int_{1/2}^{1} (\iint_{x^2+y^2\le -z^2+1} (z-\frac{1}{2})(x-1)) dxdydz$[/tex]
E' corretto?
A prima vista direi di sì.
Il risultato è uguale perché i due integrali che hai scritto tu dovrebbero essere uguali (prova a calcolarli), quindi puoi fare due volte il primo.
Il risultato è uguale perché i due integrali che hai scritto tu dovrebbero essere uguali (prova a calcolarli), quindi puoi fare due volte il primo.
Posto il passo successivo, anche se mi sembra un po' strano perchè vengono due integrali abbastanza difficili da calcolare
[tex]$\int_{0}^{1/2}(\frac{1}{2}-z)(\int_{-\sqrt{-z^2+2z}}^{\sqrt{-z^2+2z}} (x-1)(\int_{-\sqrt{z^2+2z-x^2}}^{\sqrt{z^2+2z-x^2}} dy)dx)dz + \int_{1/2}^{1}(\frac{1}{2}-z)(\int_{-\sqrt{-z^2+1}}^{\sqrt{-z^2+1}} (x-1)(\int_{-\sqrt{-z^2-x^2+1}}^{\sqrt{-z^2-x^2+1}} dy)dx)dz$[/tex]
Ho sbagliato qualcosa?
[tex]$\int_{0}^{1/2}(\frac{1}{2}-z)(\int_{-\sqrt{-z^2+2z}}^{\sqrt{-z^2+2z}} (x-1)(\int_{-\sqrt{z^2+2z-x^2}}^{\sqrt{z^2+2z-x^2}} dy)dx)dz + \int_{1/2}^{1}(\frac{1}{2}-z)(\int_{-\sqrt{-z^2+1}}^{\sqrt{-z^2+1}} (x-1)(\int_{-\sqrt{-z^2-x^2+1}}^{\sqrt{-z^2-x^2+1}} dy)dx)dz$[/tex]
Ho sbagliato qualcosa?
Una volta portato fuori il fattore $1/2-z$, ti rimane all'interno un integrale doppio [tex]\iint_{S(z)} (x-1) dx dy[/tex], dove $S(z)$ è un cerchio del piano $xy$ centrato nell'origine.
Per simmetria avrai che [tex]\iint_{S(z)} x dx dy = 0[/tex]; di conseguenza, l'integrale di partenza diventa
[tex]-2 \int_0^{1/2} (1/2-z) |S(z)| dz[/tex], dove $|S(z)|$ denota l'area di $S(z)$, facilmente calcolabile.
Per simmetria avrai che [tex]\iint_{S(z)} x dx dy = 0[/tex]; di conseguenza, l'integrale di partenza diventa
[tex]-2 \int_0^{1/2} (1/2-z) |S(z)| dz[/tex], dove $|S(z)|$ denota l'area di $S(z)$, facilmente calcolabile.
Grazie dell'aiuto 
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