Integrale triplo

[bestiedda2]

si calcoli il seguente integrale triplo:

[tex]\int \int \int _T {{6z^3y} \over {(x^2+y^2+z^2)^2}}dxdydz[/tex]

sul dominio [tex]T=(1 \leq x^2+y^2+z^2 \leq 4 , z \geq \sqrt{x^2+y^2},y \geq 0)[/tex]

in casi come questi è conveniente operare un cambio di coordinate sferiche? Io farei così:
Innanzitutto il dominio è un guscio di sfera di raggi 1 e 2, intersecato con la parte superiore di un cono con asse in z e con il semispazio in cui[tex]y \geq 0[/tex]. Allora, cambiando le coordinate secondo la trasformazione [tex]x=\rho sin(\theta) cos(\psi);y=\rho sin(\theta) sin(\psi);z=\rho cos(\theta)[/tex], si ha che [tex]0 \leq \psi \leq \pi[/tex],[tex]0 \leq \theta \leq {3 \over 4} \pi[/tex],[tex]1 \leq \rho \leq 2[/tex].

A questo punto l'integrale diventa [tex]\int \int \int _T 6 \rho^2 cos^3 \theta sin^2 \theta sin \psi d\rho d\theta d\psi[/tex]

è giusto?

[ciampax]

L'integrale è quello, ma sbagli le limitazioni: esse sono

[tex]$1\le \rho^2\le 4,\qquad \cos\theta\ge|\sin\theta|,\qquad \sin\theta\cdot\sin\psi\ge 0$[/tex]

che conducono a [tex]$1\le\rho\le 2,\ 0\le\theta\le\frac{\pi}{4},\ 0\le\psi\le\pi$[/tex].

[eagle871]

determinare il volume di A = $ {(x,y,z) : (2x+y)^2+x^2+z^2 <=1 } $