Integrale Triplo

[Gagliano1]

Ciao, mi date una mano con questo integrale triplo? $\int int int (xy)/(x^2+y^2+1) dxdydz$ Nel dominio $x>=0, y>=0, 0<=z<=1, x^2+y^2<=1, x^2+y^2>=z$. Utilizzo coordinate sferiche o cilindriche? Mi potete aiutare??? Non dovete risolverlo, ma solo scrivermi l'integrale triplo diviso con i relativi termini di integrazione. Non so se ho fatto bene o no poichè non ho la soluzione dell'esercizio. Grazie anticipatamente.

[Alexp1]

[mod="Alex"]
Ciao "Gagliano",
capisco che questo è il tuo primo messaggio, però dovresti cercare di scrivere le formule correttamente, (qui il link), soprattutto per facilitare la lettura a chi ti vorrà aiutare!

Buona continuazione!
[/mod]

[Gagliano1]

[quote=Alexp][/quote]

Seguendo il tuo consiglio :

$\int int int (xy)/(x^2+y^2+1) dxdydz

Nel dominio $x>=0$ , $y>=0$ , $0<=z<=1$, $x^2+y^2>=z$, $x^2+y^2<=1$

Ora potete aiutarmi???
Grazie!!!

[gugo82]

Mi sembra un integrale standard da svolgere in coordinate polari, non mi pare difficile.

Dove ti blocchi?

Per i prossimi post, ti esorto a seguire le direttive scritte qui.
Inoltre, potresti scegliere un titolo appropriato? Se vuoi un suggerimento, "integrale in coordinate polari" può andar bene.

[Gagliano1]

Sì, terrò conto del regolamento. Comunque essendo in tre variabili non può essere svolto in coordinate polari, bensì in coordinate sferiche o cilindriche. In realtà vorrei solo togliermi un dubbio perchè non sono sicuro che i termini di integrazione siano corretti. Comunque al titolo avevo messo "Integrale triplo", forse non lo ha preso il comando..Boh..

[Quinzio]

Scrivi i tuoi termini di integrazione. Comunque sono molto immediati.

[Gagliano1]

"Quinzio":Scrivi i tuoi termini di integrazione. Comunque sono molto immediati.

Allora, io arrivo a :

$\int_{0}^{1} z dz$ $\int_{0}^{sqrt(z)} (rho^3)/(rho^2+1)drho$ $\int_{0}^{pi/2} costheta sentheta dtheta $

E' giusto così??? Grazie!!!

[Quinzio]

"Gagliano":[quote="Quinzio"]Scrivi i tuoi termini di integrazione. Comunque sono molto immediati.

Allora, io arrivo a :

$\int_{0}^{1} z dz$ $\int_{0}^{sqrt(z)} $\(rho^3)/$\(rho^2 +1)$$ d$\rho$ $\int_{0}^{pi/2} cos$\theta$sen$\theta$ d$\theta$$.

E' giusto così??? Grazie!!![/quote]

$\int_{0}^{\pi/2} \int_{sqrt(z)}^{1} \int_{0}^{1} \(rho^3cos\thetasen\theta)/(\rho^2 +1) dz\ d\rho\ d\theta$

cosi' e' un po' meglio....
bene, non rimane che svolgere i calcoli

[Gagliano1]

$\int_{0}^{\pi/2} \int_{sqrt(z)}^{1} \int_{0}^{1} \(rho^3cos\thetasen\theta)/(\rho^2 +1) dz\ d\rho\ d\theta$



Mmm..Scusa, perche $\rho$ non varia tra 0 e $sqrt(z)$ ma tra $sqrt(z)$e 1?

Comunque quella era una prova..Poi l'ho riscritto bene!!!

Ah, scusa..Ma l'ordine degli integrali non è come l'ho scritto io? Perchè prima risolvo l'integrale in $\rho$ e poi quello in z, no?

[Quinzio]

"Gagliano":$\int_{0}^{\pi/2} \int_{sqrt(z)}^{1} \int_{0}^{1} \(rho^3cos\thetasen\theta)/(\rho^2 +1) dz\ d\rho\ d\theta$



Mmm..Scusa, perche $\rho$ non varia tra 0 e $sqrt(z)$ ma tra $sqrt(z)$e 1?

Sta scritto qua
Nel dominio $x>=0$ , $y>=0$ , $0<=z<=1$, $x^2+y^2>=z$, $x^2+y^2<=1$

$x^2+y^2>=z$, $x^2+y^2<=1$
Il raggio quadro e' minore di 1 e maggiore di z, quindi sta tra z e 1

Comunque quella era una prova..Poi l'ho riscritto bene!!!

Ah, scusa..Ma l'ordine degli integrali non è come l'ho scritto io? Perchè prima risolvo l'integrale in $\rho$ e poi quello in z, no?

Si e' la stessa cosa, ma scrivere l'ordine di integrazione con ordine e metodo credo che aiuti ad evitare sbagli e a farsi capire subito.

[Gagliano1]

"Quinzio":[quote="Gagliano"]$\int_{0}^{\pi/2} \int_{sqrt(z)}^{1} \int_{0}^{1} \(rho^3cos\thetasen\theta)/(\rho^2 +1) dz\ d\rho\ d\theta$



Mmm..Scusa, perche $\rho$ non varia tra 0 e $sqrt(z)$ ma tra $sqrt(z)$e 1?

Sta scritto qua
Nel dominio $x>=0$ , $y>=0$ , $0<=z<=1$, $x^2+y^2>=z$, $x^2+y^2<=1$

$x^2+y^2>=z$, $x^2+y^2<=1$
Il raggio quadro e' minore di 1 e maggiore di z, quindi sta tra z e 1

Comunque quella era una prova..Poi l'ho riscritto bene!!!

Ah, scusa..Ma l'ordine degli integrali non è come l'ho scritto io? Perchè prima risolvo l'integrale in $\rho$ e poi quello in z, no?

Si e' la stessa cosa, ma scrivere l'ordine di integrazione con ordine e metodo credo che aiuti ad evitare sbagli e a farsi capire subito.[/quote]


Ah, ok..Quindi è come dico io però..Cioè svolgo l'integrale di $\rho$ e sostituisco prima 1 e poi $sqrt(z)$ e dopo faccio l'integrale in dz???

[Quinzio]

"Gagliano":[quote="Quinzio"][quote="Gagliano"]$\int_{0}^{\pi/2} \int_{sqrt(z)}^{1} \int_{0}^{1} \(rho^3cos\thetasen\theta)/(\rho^2 +1) dz\ d\rho\ d\theta$



Mmm..Scusa, perche $\rho$ non varia tra 0 e $sqrt(z)$ ma tra $sqrt(z)$e 1?

Sta scritto qua
Nel dominio $x>=0$ , $y>=0$ , $0<=z<=1$, $x^2+y^2>=z$, $x^2+y^2<=1$

$x^2+y^2>=z$, $x^2+y^2<=1$
Il raggio quadro e' minore di 1 e maggiore di z, quindi sta tra z e 1

Comunque quella era una prova..Poi l'ho riscritto bene!!!

Ah, scusa..Ma l'ordine degli integrali non è come l'ho scritto io? Perchè prima risolvo l'integrale in $\rho$ e poi quello in z, no?

Si e' la stessa cosa, ma scrivere l'ordine di integrazione con ordine e metodo credo che aiuti ad evitare sbagli e a farsi capire subito.[/quote]


Ah, ok..Quindi è come dico io però..Cioè svolgo l'integrale di $\rho$ e sostituisco prima 1 e poi $sqrt(z)$ e dopo faccio l'integrale in dz???[/quote]


Ok, scusa ma c'e' un errore nei limiti di integrazione.
Va riscritto cosi':
$\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\rho^2} \(rho^3cos\thetasen\theta)/(\rho^2 +1) dz\ d\rho\ d\theta$

Il fatto e' che nel dominio di integrazione come l'hai scritto tu e' superfluo dire che z sta tra 0 e 1, lo si capisce gia' dal raggo.
Io ho sempre integrato dall'interno verso l'esterno.
Scambiare gli integrali porta ad errori, poi vedi tu.

[Gagliano1]

Mmm..ma così non riesco a capire se come ho fatto io è giusto..

[Gagliano1]

Ho fatto in tutti e due modi e il risultato alla fine è lo stesso, ossia $1/4log2 -1/8)$.
Qualcuno può dirmi se è giusto?? Grazie molte comunque!!!