Integrale triplo

[mashiro1]

rieccomi qui.. domani ho l'esame, e c'e' un esercizio che mi farebbe comodo risolvere con il vostro aiuto..

il testo recita:

Sia E la porzione limitata di spazio compresa fra il cilindro
$x^2 + (y − 1)^2 = 1$
e i piani
$z = 0, z = y$.
Calcolare
$int_E (y − x) dxdydz$

tutto qui..

allora,
$-1<=x<=1$
$0<=y<=2$
$0<=z<=y$

mi incasino una cifra .. secondo voi posso passare alle coordinate cilidriche magari sostituendo $(y-1)^2$ con $t^2$??
suggerimenti e spintarelle ben accette..

[fireball1]

L'integrale richiesto è questo
$int_(\{x^2+(y-1)^2<=1\}) (y-x) dx dy int_0^y dz$
ovvero
$int_(\{x^2+(y-1)^2<=1\}) y(y-x) dx dy$
A questo punto passa a coordinate polari, e a conti fatti dovresti ottenere come risultato $5/4 pi$.

[mashiro1]

"fireball":L'integrale richiesto è questo
$int_(\{x^2+(y-1)^2<=1\}) (y-x) dx dy int_0^y dz$
ovvero
$int_(\{x^2+(y-1)^2<=1\}) y(y-x) dx dy$
A questo punto passa a coordinate polari, e a conti fatti dovresti ottenere come risultato $5/4 pi$.

il risultato e' corretto..
se passo in coordinate polari all'inteno dell'integrale avro':

$int (rho^2 sen^2theta- rho^2 sen theta cos theta) rho drho d theta$

ma gli intervalli per il calcolo da dove litrovo?
sono semplicemente le soluzioni della disequazione trasformata in coordinate polari??

[fireball1]

se passo in coordinate polari all'inteno dell'integrale avro':
$int (rho^2 sen^2theta- rho^2 sen theta cos theta) rho drho d theta$

Occhio che il cerchio non ha centro in (0,0) ma in (0,1), quindi devi prendere $x = rho cos theta$, $y=1+rho sin theta$.

ma gli intervalli per il calcolo da dove litrovo?
sono semplicemente le soluzioni della disequazione??

Come sempre, $0<=rho<=1$ e $0<=theta<=2pi$.

[mashiro1]

ah, si, caspita.. mi ero dimenticato della $y$..
grazie

[fireball1]

Sono conti un po' pallosi, ti suggerisco di integrare prima in $d rho$ e poi in $d theta$ per evitare casini.