Integrale triplo

[martola1]

ciao sono nuova e ho problemi con questo esercizio, che mi potete aiutare perfavore?? fra poco ho l'esame uffiii un bacione a tutti (non ho capito bene come trovare gli estremi)

si calcoli $\int int int x dxdydz$ l'ottava parte della sfera delimitata dagli assi x=0 e y=x

[ELWOOD1]

ciao e benvenuta....sei sicura di non avere anche il raggio della sfera?

[Luca.Lussardi]

Forse intendi i piani $x=0$ e $y=x$; prova a mettere questa parte di sfera in coordinate sferiche, dovrebbe semplificare di parecchio.

[martola1]

si scusate!! la sfera è unitaria!! quindi 0

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[ELWOOD1]

ok...allora come dice Luca impostati le coordinate sferiche...e poi vedi i vari parametri dove variano ($\theta, \phi, \rho$)

[martola1]

scusa non lo so fare :°( ... io penso che è $0<=\rho<=1$ e $pi/4<=\phi<=pi$ e $0<=\theta<=2pi$
perchè il piano y=x passa per 45°

[ELWOOD1]

attenta...se l'angolo $\phi$ è quello verticale va da $(\pi)/2 \mbox{a} \pi$ è l'angolo $\theta$ che va da $0$ a $(\pi)/4$

[martola1]

ricapitoliamo..
$x=\rho sin \phi cos \theta$
$y=\rho sin \phi sin \theta$
$z=\rho cos \phi$

$0<=\rho<=1$
$pi/2<=\phi<=pi$
$0<=\theta<=pi/4$

però non ho capito bene come hai trovato gli angoli $\phi$ e $\theta$ cioè il piano y=x non dovrebbe tagliare in mezzo tra x e y? quindi dovrebbe partire da 45° fino a 180° e poi il $\theta$ come sei riuscito??? sto impazzendooooooo :°°°°(

[ELWOOD1]

quindi dovrebbe partire da 45° fino a 180° e poi il θ come sei riuscito???

in parte hai ragione, prima mi son sbagliato...ma don't worry....immaginati lo spicchio di sfera....il problema ti dice che è delimitato tra gli assi $x=0$ e $y=x$ quindi $\theta$ va da 45° a 90°....

$\phi$ era giusto....quindi il gioco è fatto....prova a scrivere l'integrale

[martola1]

$\int_0^1 \rho^3d\rho int_(pi/2)^pi sin^2(\phi)d\phi int_(pi/4)^(pi/2) cos(\theta)d\theta$

dovrei averlo scritto bene senti ma non capisco ,, xkè $\theta$ va da 45° fino a 90° ? non dovrebbe essere da 90° fino a 360°? per lo stesso ragionamento di phi?

[ELWOOD1]

il fatto è che ti dice "l'ottava parte della sfera" quindi è solo quello spicchio lì....comunque l'integrale va benone

[martola1]

yuppi!!!! sono contenta! sei stato gentilissimo!! grazie grazie grazie
$\theta$ l'ho capito
$\phi$ va da 0 a $pi$ noi scegliamo l'intervallo $[pi/2;pi]$ per l'asse x=0 giusto?
se fosse stato delimitato da $y=-x$ e $x=0$... $\phi$ lo sceglievamo $[5/4pi;pi]$ giusto?
grazie un bacione!!

[ELWOOD1]

yes....addirittura un bacione

[Luca.Lussardi]

Mi pare ci sia un errore: l'angolo $\theta$ che gira sul piano $xy$ dovrebbe variare tra $\pi/4$ e $\pi/2$, mentre l'angolo $\phi$ che percorre i meridiani dovrebbe variare in tutto $(0,\pi)$.

[ELWOOD1]

se guardi il post in cui ha scritto l'integrale l'intervallo di $\theta$ è corretto....ma $\phi$ è giusto che vari tra $(\pi)/2$ e $\pi$ visto che chiede l'ottava parte della sfera...

poi magari mi sbaglio...

[Luca.Lussardi]

Ok per $\theta$; per $\phi$ secondo me deve variare tra $0$ e $\pi$, lo spicchio di sfera che sta tra i piani $x=0$ e $y=x$ sta anche sotto il piano $z=0$, non sta solo sopra, ed è esattamente un ottavo dell'intera sfera.

[Luca.Lussardi]

Va anche detto che io ho interpretato che la parte di sfera voluta è quella che si proietta sul primo quadrante del piano $xy$, cosa non specificata nel testo dell'esercizio. Inviterei chi ha sottomesso l'esercizio ad essere più preciso/a sul dominio di integrazione.

[martola1]

ti ringrazio per la risposta! comunque purtroppo è proprio quello l'esercizio ...

[Luca.Lussardi]

E' un testo mal posto, per cui ogni aiuto è relativo...

[ELWOOD1]

io intituivamente avrei detto che varia da $(\pi)/2$ a $\pi$ proprio perchè intende l'ottava parte della sfera...quindi sotto il piano $z=0$

ma è anche vero che come "ottava parte" della sfera può essere uno spicchio di questo tipo preso in modo arbitrario

[Luca.Lussardi]

Ma se stai sotto il piano e proietti solo sul primo quadrante è 1/16 della sfera, non 1/8...